群論學習筆記-2.置換群

置換與對稱群

置換

設$\Omega$是由$n$個文字組成的集合: $\Omega=\lbrace \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace$

$\Omega$到自身的一個一一映射稱為$\Omega$上的一個$n$元置換。

設$\sigma$是$\Omega=\lbrace \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace$上的一個置換，用$\alpha_i^{\sigma}\quad(i=1,2,\cdots,n)$表示，則$\sigma$表成：

$$\sigma=\begin{pmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\\\alpha_1^{\sigma},\alpha_2^{\sigma},\cdots,\alpha_n^{\sigma}\end{pmatrix}$$

對稱群

$n$個元素具有$n!$種不同的排列，因此對其有$n!$個$n$元置換，用$S_n$表示這$n!$個置換的集合。

定義$S_n$上置換的乘法為兩個置換的連續作用，例如：

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4\\2,4,1,3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1,2,3,4\\2,1,4,3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,2,3,4\\1,3,2,4\end{pmatrix}$$ $S_n$上的置換乘法具有如下性質：

• 滿足結合律: $(\sigma\tau)\rho=\sigma(\tau\rho)\quad(\sigma,\tau,\rho\in S_n)$
• 存在單位元: $e=\begin{pmatrix}1,2,\cdots,n\\1,2,\cdots,n\end{pmatrix}$
• 每個$n$元置換在$S_n$中存在逆元

顯然，$S_n$對置換乘法構成群，稱為$n$元對稱群，$S_2$是2階交換群，但當$n\ge3$時，$S_n$不是交換群。

置換的輪換表法

若置換$\sigma$作用於$n$個元素中的$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$，使：

$$\alpha_1^\sigma=\alpha_2,\quad \alpha_2^\sigma=\alpha_3,\quad\cdots,\quad \alpha_m^\sigma=\alpha_1$$

且其余$n-m$個元素不變，則稱$\sigma$為一個$m$-輪換，簡稱輪換，記作：

$$\sigma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$$ $m$稱為輪換的長度，當$m=1$時，$\sigma$是恆等置換；當$m=2$時，$\sigma$稱為一個**對換**。

若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$與$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_l$各不相同，
則兩個置換$\sigma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$和$\tau=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_l)$稱為不相交的，很容易看出，不相交的輪換可交換。

定理：任何有限置換都可以表示為一些不相交的輪換的乘積，且表法唯一。例如：

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4,5,6,7,8\\3,1,5,4,2,8,7,6\end{pmatrix}=(1,3,5,2)(4)(6,8)(7)=(1,3,5,2)(6,8)$$

問題分析：由於輪換是不相交的，那麼它們互不影響，根據輪換的性質，易得$m$-輪換$\sigma^l=\sigma^{l+m}$，即重復此輪換$m$次後會還原為初始狀態，而有限置換在重復多次後也必然部分地還原為初始狀態，則在某次重復時還原的元素就確定了一個輪換，由此入手即可證明。
證明：設$\sigma$是$1,2,\cdots,n$的一個置換，任取$1,2,\cdots,n$中的一個設為$\alpha$，作序列：

$$\alpha=\alpha^{\sigma^0},\alpha^{\sigma^1},\alpha^{\sigma^2},\cdots$$

因為$\alpha^{\sigma^k}\in\lbrace 1,2,\cdots,n\rbrace$，所以序列一定包含重復的文字，設$\alpha^{\sigma^m}$是第一個在前面出現過的文字，且$\alpha^{\sigma^m}=\alpha^{\sigma^i}$ ($0\le i<m$)，那麼$\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}}$各不相同。
若$i\not=0$，則$(\alpha^{\sigma^{m-1}})^{\sigma}=(\alpha^{\sigma^{i-1}})^{\sigma}$，產生矛盾，因此$i=0$，所以$\alpha^{\sigma^m}=\alpha$，作輪換：

$$\sigma_1=(\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}})$$

則$\sigma$與$\sigma_1$在$\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}}$作用相同。
若$m=n$，則$\sigma=\sigma_1$是一個輪換；若$m<n$，則在剩余文字中選取$\beta$重復上述過程，得到輪換：

$$\sigma_2=(\beta,\beta^{\sigma},\cdots,\beta^{\sigma^{r-1}})$$

由於$\sigma$是一一映射，$\sigma_1$與$\sigma_2$不相交。繼續此過程即可得到$\sigma$的輪換表法。
表法唯一性是很明顯的。
推論：若$\sigma=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_s$，其中$\sigma_i$的長度為$l_i$ ($i=1,2,\cdots,s$)，則$\sigma$的階數等於$l_1,l_2,\cdots,l_s$的最小公倍數$[l_1,l_2,\cdots,l_s]$，這是很明顯的。

置換的奇偶性 交錯群

置換的奇偶性

每個輪換都可表成一些對換的乘積：

$$(a_1,a_2,\cdots,a_m)=(a_1,a_2)(a_1,a_3)\cdots(a_1,a_m)$$

因此每個置換都可表成一些對換的乘積，但表法不唯一，例如：

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4,5\\2,3,1,5,4\end{pmatrix}=(1,2)(1,3)(4,5)=(2,3)(1,2)(4,5)=(2,3)(1,2)(1,3)(4,5)(1,3)$$

定理：$n$元置換$\sigma$表成對換的乘積後，乘積中對換個數的奇偶性由$\sigma$唯一確定，且與$n$元排列$1^{\sigma},2^{\sigma},\cdots,n^{\sigma}$的奇偶一致。

逆序數：規定標准排序由小到大，若排列中某兩個元素排列的次序與標准次序不同，就稱這兩個數構成一個逆序，一個排列中所有逆序的總和稱為這個排列的逆序數，記作$N(p_1,p_2,\cdots,p_n)$,如$N(1,2,3,4)=0$,$N(1,2,4,3)=1$

排列的奇偶性：逆序數為奇數的排列是奇排列，反之為偶排列。

證明：設$\sigma=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_m$，即將$m$次對換作用於$1,2,\cdots,n$上。對換改變數列的奇偶，$m$次對換就將奇偶改變$m$次，由於$1,2,\cdots,n$是一個偶排列，所以$m$的奇偶性與$1^{\sigma},2^{\sigma},\cdots,n^{\sigma}$一致。

交錯群

若$n$元置換$\sigma$可以表成奇數個對換的乘積，則稱$\sigma$為奇置換，反之則為偶置換。
從定義可知，在$n!$個$n$元置換中，奇偶置換個數相同，都為$n!/2$個。恆等置換是偶置換，兩個偶置換之奇為偶置換，偶置換的逆置換也是偶置換。

於是，$n$元偶置換對置換的乘法構成一個群，其階為$n!/2$，稱為$n$元交錯群，記作$A_n$

選取對稱群$S_n$中每個元素取其平方，所得平方元恰好是對稱群的一半，且構成對應的交錯群，例如從$S_3$構造$A_3$：

原始元素	平方元素
$e$	$e$
$(1,2)$	$e$
$(2,3)$	$e$
$(1,3)$	$e$
$(1,2,3)$	$(1,2)(2,3)$
$(1,2)(2,3)$	$(1,2,3)$

這樣做的原理在於對稱群中原始置換平方後全部轉化為偶置換，消除了所有奇置換，滿足交錯群的條件。

置換群

定義

由$n$元置換組成的群稱為$n$元置換群，例如$n$元對稱群和$n$元交錯群都是$n$元置換，顯然$n$元置換群都為$n$元對稱群的子群。
一個置換實際變動的文字個數稱為這個置換的次數，而一個置換群實際變動的文字個數稱為這個群的次數，例如$(1,2,3)$是一個3次置換，$G=\lbrace e,(1,2,3),(1,3,2)\rbrace$是一個3次置換群。

凱萊圖

置換群的凱萊圖可以表示為凸多面體，稱為置換多面體，其中一些置換群的凱萊圖對應於正多面體。

$A_4$的凱萊圖對應於正四面體： $S_4$的凱萊圖對應於正六面體或正八面體：

$A_5$的凱萊圖對應於正十二面體或正二十面體：

由於三維空間中正多面體只有五種，更高階的一些置換群的凱萊圖對應於高維正多面體。

可以看到$S_4$和$A_5$對應的正多面體不唯一，由歐拉示性數定理可知正多面體滿足：

$$\left(\frac{2}{m}+\frac{2}{n}-1\right)E=2$$

其中$m$表示一個面的邊數或頂點數，$n$表示每個頂點關聯的棱數，$E$表示總棱數，於是：

• $m=4,n=3,E=12$，對應正六面體
• $m=3,n=4,E=12$，對應正八面體
• $m=5,n=3,E=30$，對應正十二面體
• $m=3,n=5,E=30$，對應正二十面體

可以看到正六面體和正八面體的$m,n$相反，$E$相同，正十二面體和正二十面體也有相同的關系。則這樣一對多面體互為對偶多面體。這其實意味著群的同構，在此不多敘述。