e 的多個表達式推導

最近在讀小平邦彥先生的《微積分入門》，感覺作為入門書難度有些太高。兩周下來終於(大概)看完了實數和函數的基礎部分。書中關於自然底數 $e$ 的幾個表達式的推導很有意思，於是寫本篇記錄一些推導過程。

級數表達式

定理(1): 如果以級數 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的項的絕對值作為項的級數 $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$ 收斂, 則原級數收斂.
證明: 設 $s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, $\sigma_n=\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert$, 則

$$\vert s_n-s_m\vert=\vert\sum_{k=m+1}^n a_k\vert\le\sum_{k=m+1}^n\vert a_k\vert=\vert\sigma_n-\sigma_m\vert\quad (m<n)$$

根據 Cauchy 判別法, 若 $\lbrace\sigma_n\rbrace$ 收斂，則 $\lbrace s_n\rbrace$ 也收斂.
若 $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$ 收斂, 則稱級數 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 絕對收斂.

定理(2): 已知收斂級數 $\sum_{n=1}^{\infty}r_n,r_n>0$, 若存在自然數 $m$ 使對任意 $n\ge m$ 都有 $\vert a_n\vert\le r_n$ 成立, 則 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 絕對收斂.
證明: 設 $n>m$, 則

$$\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{k=m}^{n} r_k\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{n=1}^{\infty} r_n<+\infty$$

所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<+\infty$.

冪級數: 形如 $\sum_{n=0}{\infty}a_nxn$ 的級數.

考慮冪級數 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$, 其中 $x$ 為任意實數. 設 $m$ 為滿足 $m\ge2\vert x\vert$ 的自然數, 則對任意 $n\ge m$ 有

$$\frac{\vert x\vert^n}{n!}=\frac{\vert x\vert^m}{m!}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+1}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+2}\cdots\frac{\vert x\vert}{n}\le\frac{2^m\vert x\vert^m}{m!}\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

設 $M=2^m\vert x\vert^m/m!$, 則

$$\sum_{n=0}^{\infty}M\left(\frac{1}{2}\right)^n=2M<+\infty$$

根據定理(2), $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$ 絕對收斂.

常使用收斂性已知的標准級數, 如等比級數 $\sum_{n=1}{\infty}arn$, $0<r<1$, 與級數 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 進行比較, 證明其收斂性.

特別地, 當 $x=1$ 時, 上述級數和用 $e$ 表示:

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\approx2.71828\cdots$$

極限表達式

$e$ 通常定義為極限 $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$, 這與上述的級數表達式相等, 但顯然這種表達式收斂更慢.

下面證明 $e=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$.
設 $e_n=(1+1/n)^n$, 則根據二項式定理有:

$$e_n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$

設 $a_{n,k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}$, 則

$$e_n=1+\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}$$ $$a_{n,k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$ $$a_{n,k}<a_{n+1,k}<\frac{1}{k!}$$

所以

$$e_n<e_{n+1}<1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$$

即 $\lbrace e_n\rbrace$ 是單調遞增數列且 $\lim_{n\to\infty}e_n\le e$.

因為 $\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=1/k!$, 所以對任意自然數 $m$

$$\lim_{n\to\infty}e_n\ge\lim_{n\to\infty}\left(1+\sum_{k=1}^{m}a_{n,k}\right)=1+\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k!}=e$$

所以

$$\lim_{n\to\infty}e_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

極限的推廣

將上述極限中的自然數 $n$ 換為實數 $t$, 則

$$e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$$

證明: 取滿足 $n\le t<n+1$ 的自然數 $n$, 則

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{t}\right)^t<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

當 $t\to+\infty$ 時, $n\to\infty$, 且

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)=e$$ $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\big/\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=e$$

所以 $e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$.

將 $s=t-1$ 代入原式可得

$$\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{1}{s}\right)^s=e$$

對於 $x>0$, 令 $s=tx$, 則

$$e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{x}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$

對於 $x<0$, 令 $y=-x$, $s=ty$, 則

$$e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1-\frac{y}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$

所以同樣有 $e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$.