群論學習筆記-1.群的概念

群是代數的結構，也是數學中最早被認識和研究的結構，並且這個「群」的結構在「在十九世紀逐步征服了數學這門科學」。(皮亞傑《結構主義》)

本學習筆記記錄我自學群論(主要是有限群論)的一些思考與總結。

主要參考內森·卡特《群論彩圖版》和王萼芳《有限群論基礎》

直觀理解

一言以蔽之，群論是研究對稱(Symmetry)的理論，但究竟什麼是 “對稱”?

翻轉開關

現在我們有兩個開關，每個開關有開合兩種狀態。可以看到這兩個開關的組合共有4種狀態，對其有2種基本操作，即 “翻轉開關1” 和 “翻轉開關2”，每一種狀態都可由基本操作的組合得到。

翻轉長方形

一張長方形紙片，對其進行「豎直翻轉」和「水平翻轉」操作：

可以看到這種操作與翻轉開關很相似，每次操作將對象變換為另一種狀態，但其在某種意義上不變。

對稱與群

上面的兩種操作可抽象為等價的作用，兩種操作表示同一個群。這些作用(Action)即為對稱(Symmetry)，而這些作用的集合就是一個群。
事實上，對稱(Symmetry)就是對某個數學對象的(可逆)變換，可以理解為映射$\phi : X\to X$ ($X$映射到本身意味著這個對象本身是不變的)。因而，群的研究對象可以看作對稱，也可以看作一種作用。

一些給定的作用的系統或集合就是一個群，這些作用滿足如下性質：

• 每個作用都是可逆的
• 每個作用都是確定性的
• 任何連續作用的序列仍是一個作用
• 「什麼也不做」也是一個作用

一個群可以看作作用的集合，也可看作定義了某種作用的狀態的集合。

最基本的作用稱為生成元(Generators)，生成元的集合為生成集合，一般表示為$S$，$S$是最小的使群中所有元素都可表示為$S$中元素乘積的子集(子群)。

特別地，若群中任意兩個連續作用交換後結果相同，此群為交換群(阿貝爾群)。

凱萊圖

凱萊圖(Cayley graph)是群的可視化工具，將上面的作用圖簡化，即可得到這個群的凱萊圖：

這個群就是Klein四元群$V_4$
圖中不同顏色的邊表示不同生成元，若某生成元$s=s^{-1}$，該生成元用無向邊表示，否則用有向箭頭表示。

由群作用的性質，可以得到凱萊圖主要的一些性質：

• 連通性(Connectedness)：圖是連通的
• 同質性(Homogeneity)：對任意頂點對$x,y$，僅有一種著色圖同構將$x$映射到$y$
  這點是說，任何圖論陳述從$x$頂點出發為真，則從$y$頂點出發亦為真，保證了群作用關系的一致性(例如在$S_3$中，任意頂點出發$f\cdot r\cdot f=r^{-1}$恆成立)
• 正則性(Regularity)：對任意顏色$s\in S$($S$即生成集合)，有一條$s$-邊指向頂點$x$，一條$s$-邊從頂點$x$發出，若$S$中有$k$個元素，則每個頂點都有$k$條邊指入，$k$條邊指出

(From Cayley graphs and the geometry of groups by Terence Tao)

代數定義

定義

設$G$是一個非空集合, 在$G$中定義了一種代數運算, 稱為「乘法」，記作「$\cdot$」.
若$G$對這種運算滿足如下條件：

• 封閉性：$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$
• 結合律：$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• 單位元的存在：存在$e$使$e\cdot a=a\cdot e=a$
• 逆元的存在：對任意$a$, 存在$a^{-1}$使$a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e$

則$G$稱為一個群。

若群$G$還滿足交換律，那麼$G$就稱作一個交換群或阿貝爾群，交換群的運算可用加法表示，記作「+」.
此時，該運算滿足：

• 封閉性：$\forall a,b\in G,a+b\in G$
• 結合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
• 零元素的存在：存在元素$0$使$0+a=a+0=a$
• 負元素的存在：對任意$a$, 存在$-a$使$(-a)+a=a+(-a)=0$
• 交換律：對任意兩個元素$a,b$, $a+b=b+a$

簡單性質

• 單位元唯一
• 每個元素只有一個逆元素, $(a^{-1})^{-1}=a$
• 消去律成立：若$ab=ac$, 則$b=c$; 若$ba=ca$, 則$b=c$
• 指數律成立：$a^m\cdot a^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn}\quad(m,n\in \mathbb{Z})$
• 若$ab=ba,(ab)^n=a^nb^n\quad(n\in\mathbb{Z})$
• 對任意元素$a,b$, $ax=b$有唯一解

群的階

如果群$G$包含的元素個數有限，則稱$G$為有限群，否則稱$G$為無限群。
例如，Klein四元群是有限群，$\mathbb{Z}$上的加法群是無限群。

有限群$G$所包含的元素個數稱為$G$的階，記作$|G|$。設$a$是$G$中一個元素，若存在正整數$k$使$a^k=e$，則$a$為有限階元素，滿足$a^k=e$的最小正整數$k$為$a$的階。單位元是唯一的1階元素，有限群的所有元素都為有限階元素。
例如，Klein四元群是4階群(階數最小的非循環群)，除單位元外所有元素都是2階的。

若$a$是$G$的$k$階元素，$a^l=a^m\to k\mid l-m$
若$a$是$G$的無限階元素，$a^l=a^m\to l=m$