《數學哲學》
今年第22本，選讀前6章，其余部分受客觀條件所限只得大致翻閱，以後有時間再細讀。本書結構相當清晰，第一部分概述數學哲學的主要問題和研究現狀，第二部分介紹其歷史，重點闡述唯理論和經驗論兩支傳統，第三部分分述20世紀上半葉的數學哲學三大主義，第四部分略述前沿觀點。層次分明的敘述使本書缺乏連貫性，雖對各種思想進行了面面俱到、不偏不倚的介紹，但僅停留於羅列觀點，沒有將其置於歷史之中考察深層聯系，也少有對觀點異同的比較評析。
盡管在第一章討論了數學與數學哲學孰先孰後的問題，但本書沒有對數學哲學這一主題作出明確的界定，這導致明顯不同的兩類「數學哲學」的混同。自柏拉圖至穆勒的數學哲學思考完全是外在於數學的，這一類哲學的研究對象並非體系化的數學，而是「數」、「幾何」等抽象概念。它所探究的是諸如「數學對象有何本體論意義」、「數學何以應用」、「數學如何被認識」之類的問題，這些問題與數學自身的發展毫不相幹，僅僅關涉於作為自然傾向的基礎應用數學(停留於古希臘時期)。而以三大主義為代表的20世紀數學哲學思潮則是由數學發展直接推動的：19世紀末數學知識急劇增長、純數學嚴格公理化的趨勢催生了對數學基礎的哲學探討，這類哲學思考自數學內部出發，其思想領袖也大多是數學家而非哲學家。這一時期數學哲學的最終目標是闡明數學基礎以使之完全體系化，這本質上是一種元數學研究，更多地使用數學方法而非哲學方法，聚焦於基本體系的建立和悖謬的排查，工作偏向技術化。類比卡爾納普對語言框架問題的區分，我們可以說前一種數學哲學研究數學的「外部問題」，追溯認識論和本體論基礎，但與數學本身幾近脫節，而後一種研究「內部問題」，本身已處於數學的框架之內，但更契合於數學實踐的需要。
前一種數學哲學提出的問題在多數數學家眼中無關緊要，菲獎得主高爾斯的話很能表明職業數學家的態度：「數學對象是其所做(is what it does)」(《數學》)，真正重要的是按照公理處理數學對象，至於它們究竟是什麽，是否存在，那就不在數學研究的範疇之中了。後一種數學哲學在追求完備性的接連失敗中慘淡收場，最終留下了幾套演繹系統和無數獨立於公理的問題，至少他們為已有的數學定理奠定了基礎，盡管這種基礎談不上牢固。後人在前人留下的公理遺產上縫縫補補，持之以恒地思索著根本問題，只是他們的努力不會再被冠以哲學之名。此後，數學將繼續作為哲學永恒的研究對象被思考，哲學家追問她的本質，但這種追問因為對數學的無知而淪為空談，誰會相信連數學家都無法理解的數學本質會被哲學家輕易把握呢？而在數學基礎處耕耘的數學家，盡管致力於探求數學的根源，卻因方法的技術化和理論的妥協性而被指責無法把握本質。那個哲學與數學並駕齊驅的時代已經過去，之後要麽是哲學家根本搞不懂數學，要麽是數學家在封閉體系內「不思想」。
前段時間農民工陳直因翻譯《海德格爾導論》而名聲大噪，在那本書的譯後記中他談到自己初學哲學的經歷。他曾為理解數的本質而讀了一些關於數學基礎的書，卻失望地發現數學家只是用公理規定了數的存在和形式，沒有涉及數「獨立的內在本質」，用海德格爾的話來說：「一些存在先行凝固為『基本概念』，它們得到界定，但其本質未成問題」(《論根據的本質》1929)。陳直指責皮亞諾像上帝一樣「創造」自然數，卻對它們的存在不加過問，這當然是一名合格的哲學思考者勢必要提出的質疑，但這種追問是否操之過急？為了把握這種本質，他投入了「在他看來更為本質」的學科——哲學，這反而使他與數的本質無緣——海德格爾不會比皮亞諾更了解數的本質，就像質檢員不會比生產商更了解產品的本質。最近看到一篇題為《首先學數學危害巨大》的短文(暴論)，大意是說學數學會導致對嚴謹和公理化的極端追求，而其他學科恰恰是無法公理化的，作者進而不無反諷之意地指出應試教育的實用主義考量杜絕了公理化，在這種意義上是「對學生的保護」。然而作者批判的「對公理化的極端追求」，恰是做題家思維的嫡系。做題家們善於把握題目的「本質」，總結規律模式，四處套用，這本身潛在地蘊含了方法論的公理化和形式化，這種習慣直接導向對公理作為規範的無條件接受。任何對數學史有所了解的人都會知道，數學的公理化是數學多樣性的直接結果，源於對現代數學的反思，是解釋性的而非規定性的，它的根本目的只是為了盡可能多地保障數學實踐的多樣性，出於具體實踐的需要，公理也可能增刪。然而慣於循規蹈矩、按部就班的做題家，缺乏對無法把控之多樣性的心智承受能力，便依賴於絕對確定的公理，將其視作數學永恒不變的靜態本質，由此回避一切質疑和反思，這充其量是一種沈淪。在這種意義下，追尋本質成了一種投機。借以本質之名，人們躲藏在教條的垢殼之下，他們抱有一種不切實際的理想——找到那一語道破天機的秘籍，隨即統握全局，這不勞而獲的妄想往往收獲令人啼笑皆非的結果，也正是庸俗本質主義的潰敗。
我也曾執迷於本質，現在我發現在問本質之前有更多問題亟待回答：我為什麽追問本質？為什麽有這樣一種本質？我如何可能了解到本質？本質性的生活為何好於沈淪？不斷追問本質的人至少不會被虛假的「本質」和獨斷論蒙蔽，但如果只是追問，那麽也只會徒勞無獲。過早追問本質，與無條件接受某個本質沒有多大差別，所欠缺的是勤勉和堅韌，「思想」不應該成為逃避具體實踐和技術化工作的借口，真正的思想總是回溯和反思的。應以黑格爾的話為箴言：「只有對其他科學深入了解之後，邏輯對主觀精神才不再是一個單純的抽象共相，而是把自己顯示為一個在自身中包含了個別的豐富性的共相」。應有格羅滕迪克的謙遜：有一個宏觀而隱秘的數學結構等待我們探索。
額，扯得有點遠了。
ps. 挖出來去年12月寫的文章論數學之美，主題相近，很是應景。那篇文章寫得青澀，現在讀起來也頗有趣。