論數學之美

最近讀到一句直指數學本質的犀利斷言：「數學就是表示論」。類似的斷言其實可以說出很多，但這句話獨到地引出了數學哲學的一個重要難題，即物理可應用性問題。這句話沒有把難題拋出，反倒將其當作起點：數學本就是粗糙的物理經驗規律背後抽象出的、脫離於對象本身的規則；藉助數學，我們能夠拋開自然界的具體現象直接研究規律，就彷彿用紙筆重建了一個表徵的自然——這怎能不叫人驚歎呢？

一方面，數學是表達經驗世界中實在關係的語言；另一方面，數學本質上是純粹的人類心靈產物、一種不隨對象改變而變化固有認知規則，對它的研究本身也是對人類理性的自指性研究。這兩個考察角度揭示了一個奇妙的事實——數學暗含著人類理性與物理世界的根本統一、內與外的一致性：神奇的不是世界為何如此，而是它竟是如此，它竟能這樣符合人類理性，以至人能夠「為自然立法」！

歸根結底，我們研究數學數學的原因無非有二，一則實用價值，二則因其本身固有的美。兩者有共通之處，但顯然，後者是更為純粹的先天自然傾向，也是古往今來的數學家踏入純粹數學領域的真正原因。但這樣一種美感又如何可能？「美」似乎意味著完全主觀的標準，而「真」卻帶有客觀事實的獨斷暴力，但最不可思議的是，遵循美的原則獲知的數學真理，竟能在現實世界中廣泛應用。一個康德式的答案是：美本就不是單純主觀的逸樂，而是與崇高客觀秩序的應合；而數學之美，正是源於數學體系的結構統一性、自然界的整體齊一性，以及數學作為本然理性與外部世界之橋梁所揭示的人類心智與自然界的一致和諧。

對統一的追求可以在 Poincaré 的哲學隨筆中看到，數學真理的美寓於其簡單和宏偉，因而在某個微小和局限的特例中不能產生美。真正優美的理論是純粹理性對和諧秩序的把握，就像「厄瑞克特翁廟的雅致的女像柱」，來自於建築師對勻稱的考量與審慎。人類心智與自然界統一所產生的美感，也正是康德的美學理想：在審美體驗中，我們意識到世界的壯觀及其無法名狀的良好秩序，感受到自然與我們能力之間的契合，被身邊事物的合目的性和可理解性深深震撼。在經驗世界中對對象之統一的覺察使我們發現了自身內在的形式統一性，這種統一性的感知即是與自然界的「共感」，「和諧」由此成為了「美」。同樣的思考也隱喻於濟慈著名的詩句中：「美即是真，真即是美」，當人的心理過程與自然達成一致，「真」就產生了，美即應運而生。

對真與美的執著追求，促使一代代數學家再造巴別塔。他們用統一的形式語言建設人類理性，向著真理的天際邁進。終於，通天塔插入雲霄，塔頂的人俯視腳下，在無窮遠的統一與聯結中看到真理的美好圖景。然而，這座塔的地基是否真的牢固？從雲端或許無法望見，廣闊的圖景之中蘊含著瘡痍，悖論在理性的土地上鑿出了無數深淵。在 Gödel 以不完備定理擊碎 Hilbert 構建絕對框架的夢想之後，我們難免會懷疑數學自身的和諧一致。這種懷疑使我們從高空墜落，墜入無根基性的深淵之底，理性不可避免地遇見了它可恨的二重身，可那說謊者恰是理性自身構建的。從天而降之時，我們看見了地上橫亙的群山和繚繞的迷霧，懷疑再一次產生。當我們將悖論置於非理性之時，似乎理所應當地預設了自然必須符合我們的理性。的確，自然與理性的符合產生了真與美，可是，憑什麽宏偉的自然一定要符合於人類有限的理性呢？我們憑什麽認為悖論是反常，而可知的真理才是合理的呢？

我們不知道。這是結論，一切探究最終都會歸結於此，所以不可知論是在所難免的。我們甚至不能斷定感知到的現象與真實是否一致，我們只是把感知定義為真實。任何觀察都只能看到宇宙的一個面向，都是局限的，我們對數學結構的把握或許也是如此，永遠只是在密林中撥開迷霧，蹣跚前行。

所以，我們必須承認知識的界限，看見統一之美的不可能性。但我們更應當保持虔敬，持續地去探索。人類不會滿足，巴別塔永遠會建下去，就算巴別塔無法通天，修建過程本身不就已是壯舉了嗎？

我們或許不得不要在不完備的基礎之上建立目的，在不充分的條件下創造美。那麽，唯一的道路又歸結為信仰，一種目的論而非決定論的信念。卡爾·薩根說：「人是宇宙用來理解自己的方式」，很難不被這種莫名其妙的主客反轉困惑，但當我們堅持這種意識，眼前的迷霧似乎也就有了積極的面向。

我們別無選擇。
我們必須知道，我們必將知道。
「Wir müssen wissen. Wir werden wissen.」