群論學習筆記-3.子群

定義

$G$是一個群，若$G$的一個子群$H$對$G$的運算構成一個群，則稱$H$是$G$的一個子群，若$H\not=G$，則$H$是$G$的一個真子群。
用$H\le G$表示$H$是$G$的子群，$H<G$表示$H$是$G$的真子群。
任何群$G$都有兩個明顯的子群：

• 由單位元構成的子群$\{e\}$，稱為$G$的單位子群
• 群$G$本身，稱為$G$的平凡子群

其他子群(若存在)稱為$G$的非平凡子群。

例如：

• 加法群 $C>R>Q>Z$
• 乘法群 $C^*>R^*>Q^*$
• $n$元交錯群$A_n$是$n$元對稱群$S_n$的子群
• 任意$n$元置換群都是$n$元對稱群的子群

判定條件

基本判定條件

$H$是群$G$的非空子集，$H$是$G$的子群的充要條件是：

• 如果$a,b\in H$，則$ab\in H$
• 如果$a\in H$，則$a^{-1}\in H$

以上兩個條件可以綜合為一條：

• 如果$a,b\in H$，則$ab^{-1}\in H$

證明：令$b=a$，則$aa^{-1}=e\in H$，所以對$b\in H$，$eb^{-1}=b^{-1}\in H$，即滿足上述條件一，可得$b^{-1}\in H$，因此$a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$，滿足上述條件二。

有限子群判定條件

$H$是群$G$的有限非空子集，$H$是$G$的子群的充要條件是$H$對$G$的運算封閉，即：

• 如果$a,b\in H$，則$ab\in H$

這個條件去掉了基本條件中的條件二。事實上，由於$H$是有限的，必存在自然數$l,m$使$a^l=a^m$且$l>m+1$，於是$l-m-1$是正整數，則$a^{l-m-1}=a^{-1}\in H$，由此就推出了基本條件中的條件二。

一些例子

整數加法群的$Z$中任意一個元素$n$的一切倍數構成的集合記作$nZ$，是$Z$的子群：
$$nZ=\{kn\mid k=0,\pm1,\pm2,\cdots\}$$

$a$是群$G$的元素，$\langle a\rangle$表示$a$的所有方冪構成的集合。顯然，$\langle a\rangle$是$G$的子群：
稱$\langle a\rangle$為$G$的由$a$生成的循環子群，$a$稱為它的生成元，$\langle a\rangle$的階等於$a$的階。

$Z(G)$表示群$G$中與所有元素都可交換的元素：$Z(G)=\{a\mid ax=xa,x\in G\}$。顯然$Z(G)$是群$G$的子群。
$Z(G)$稱為群$G$的中心，$Z(G)$的元素稱為群$G$的中心元素。若群$G$的中心是單位子群，則群$G$是無中心的；群$G$是交換群的充要條件是$Z(G)=G$

設$H_1,H_2$是$G$的兩個子群，則$H_1,H_2$的交$H_1\cap H_2$是$G$的子群。