$e$的多個表達式推導
最近在讀小平邦彥先生的《微積分入門》，感覺作為入門書難度有些太高。兩周下來終於(大概)看完了實數和函數的基礎部分。書中關於自然底數$e$的幾個表達式的推導很有意思，於是寫本篇記錄一些推導過程。
級數表達式
定理(1)：如果以級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的項的絕對值作為項的級數$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$收斂，則原級數收斂。
證明：設$s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$，$\sigma_n=\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert$，則：
$$\vert s_n-s_m\vert=\vert\sum_{k=m+1}^n a_k\vert\le\sum_{k=m+1}^n\vert a_k\vert=\vert\sigma_n-\sigma_m\vert\quad (m<n)$$
根據Cauchy判別法，若{$\sigma_n$}收斂，則{$s_n$}也收斂。
當$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$收斂時，稱級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$絕對收斂。
定理(2)：已知收斂級數$\sum_{n=1}^{\infty}r_n,r_n>0$，若存在自然數$m$使$n\ge m$時$\vert a_n\vert\le r_n$成立，則$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$絕對收斂。
證明：設$n>m$，則：
$$\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{k=m}^{n} r_k\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{n=1}^{\infty} r_n<+\infty$$
所以$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<+\infty$
冪級數：形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的級數
考慮冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$，其中$x$為任意實數。設$m$為$m\ge2\vert x\vert$的自然數，則對$n\ge m$：
$$\frac{\vert x\vert^n}{n!}=\frac{\vert x\vert^m}{m!}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+1}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+2}\cdots\frac{\vert x\vert}{n}\le\frac{2^m\vert x\vert^m}{m!}(\frac{1}{2})^n$$
設$M=2^m\vert x\vert^m/m!$，則：
$$\sum_{n=0}^{\infty}M(\frac{1}{2})^n=2M<+\infty$$
根據定理(2)，$\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$絕對收斂。
常使用收斂性已知的標准級數，如等比級數$\sum_{n=1}^{\infty}ar^n,0<r<1$，與級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$進行比較，證明其收斂性
特別地，當$x=1$時，上述級數和用$e$表示：
$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\approx2.71828\cdots$$
極限表達式
$e$通常定義為極限$\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$，這與上述的級數表達式相等，但顯然這種表達式收斂更慢。
證明$e=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$：
設$e_n=(1+1/n)^n$，則根據二項式定理：
$$e_n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$
設$a_{n,k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}$，則：
$$e_n=1+\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}$$
$$a_{n,k}=\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})$$
$$a_{n,k}<a_{n+1,k}<\frac{1}{k!}$$
所以：
$$e_n<e_{n+1}<1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$$
{$e_n$}是單調遞增數列且$\lim_{n\to\infty}e_n\le e$
因為$\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=1/k!$，所以對任意自然數$m$：
$$\lim_{n\to\infty}e_n\ge\lim_{n\to\infty}(1+\sum_{k=1}^{m}a_{n,k})=1+\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k!}=e$$
所以：
$$\lim_{n\to\infty}e_n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$
極限的推廣
將上述極限中的自然數$n$換為實數$t$：
$$e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$$
證明：取滿足$n\le t<n+1$的自然數$n$，則：
$$(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{t})^t<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$$
當$t\to+\infty$時，$n\to\infty$，且：
$$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})=e$$
$$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1})=e$$
所以$e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$
將$s=t-1$代入原式可得：
$$\lim_{t\to+\infty}(1-\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{s\to+\infty}(1+\frac{1}{s})^s=e$$
對於$x>0$，令$s=tx$，則：
$$e^x=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^{tx}=\lim_{s\to+\infty}(1+\frac{x}{s})^s=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$$
對於$x<0$，令$y=-x,s=ty$，則：
$$e^x=\lim_{t\to+\infty}(1-\frac{1}{t})^{-tx}=\lim_{s\to+\infty}(1-\frac{y}{s})^s=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$$
所以$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$