群論學習筆記-2.置換群

置換與對稱群

置換

設 $\Omega$ 是由 $n$ 個文字組成的集合: $\Omega=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace$, $\Omega$ 到自身的一個一一映射稱為 $\Omega$ 上的一個 $n$ 元置換.

設 $\sigma$ 是 $\Omega=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\rbrace$ 上的一個置換, 用 $\alpha_i^{\sigma}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 表示, 則 $\sigma$ 可表成:

$$\sigma=\begin{pmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\\\alpha_1^{\sigma},\alpha_2^{\sigma},\cdots,\alpha_n^{\sigma}\end{pmatrix}$$

對稱群

$n$ 個元素具有 $n!$ 種不同的排列, 因此對其有 $n!$ 個 $n$ 元置換, 用 $S_n$ 表示這 $n!$ 個置換的集合.

定義 $S_n$ 上置換的乘法為兩個置換的連續作用, 例如:

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4\\2,4,1,3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1,2,3,4\\2,1,4,3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,2,3,4\\1,3,2,4\end{pmatrix}$$ $S_n$ 上的置換乘法具有如下性質:

• 滿足結合律: $(\sigma\tau)\rho=\sigma(\tau\rho)$, 其中 $\sigma,\tau,\rho\in S_n$,
• 存在單位元: $e=\begin{pmatrix}1,2,\cdots,n\\1,2,\cdots,n\end{pmatrix}$,
• 每個 $n$ 元置換在 $S_n$ 中存在逆元.

顯然, $S_n$ 對置換乘法構成群, 稱為 $n$ 元對稱群, $S_2$ 是2階交換群, 但當 $n\ge3$ 時, $S_n$ 不是交換群.

置換的輪換表法

若置換 $\sigma$ 作用於 $n$ 個元素中的 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$, 使得

$$\alpha_1^\sigma=\alpha_2,\enspace\alpha_2^\sigma=\alpha_3,\enspace\cdots,\enspace\alpha_m^\sigma=\alpha_1$$

且其余 $n-m$ 個元素不變, 則稱 $\sigma$ 為一個 $m$-輪換, 簡稱輪換, 記作:

$$\sigma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$$ $m$ 稱為輪換的長度, 當 $m=1$ 時, $\sigma$ 是恆等置換; 當 $m=2$ 時, 稱 $\sigma$ 為一個對換.

若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 與 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_l$ 各不相同, 則兩個置換 $\sigma=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$ 和 $\tau=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_l)$ 稱為不相交的. 很容易看出, 不相交的輪換可交換.

定理: 任何有限置換都可以表示為一些不相交的輪換的乘積, 且表法唯一.

例如:

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4,5,6,7,8\\3,1,5,4,2,8,7,6\end{pmatrix}=(1,3,5,2)(4)(6,8)(7)=(1,3,5,2)(6,8)$$

問題分析: 由於輪換是不相交的, 那麼它們互不影響, 根據輪換的性質, 易得 $m$-輪換 $\sigma^l=\sigma^{l+m}$, 即重複此輪換 $m$ 次後會還原為初始狀態, 而有限置換在重複多次後也必然部分地還原為初始狀態, 則在某次重複時還原的元素就確定了一個輪換, 由此入手即可證明.

證明: 設 $\sigma$ 是 $1,2,\cdots,n$ 的一個置換, 任取 $1,2,\cdots,n$ 中的一個設為 $\alpha$, 作序列 $$\alpha=\alpha^{\sigma^0},\alpha^{\sigma^1},\alpha^{\sigma^2},\cdots$$ 因為 $\alpha^{\sigma^k}\in\lbrace1,2,\cdots,n\rbrace$, 所以序列一定包含重複的文字, 設 $\alpha^{\sigma^m}$ 是第一個在前面出現過的文字, 且 $\alpha^{\sigma^m}=\alpha^{\sigma^i}$ ($0\le i<m$), 那麼 $\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}}$ 各不相同.

若 $i\not=0$, 則 $(\alpha^{\sigma^{m-1}})^{\sigma}=(\alpha^{\sigma^{i-1}})^{\sigma}$, 產生矛盾, 因此 $i=0$, 所以 $\alpha^{\sigma^m}=\alpha$, 作輪換

$$\sigma_1=\left(\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}}\right)$$

則 $\sigma$ 與 $\sigma_1$ 在 $\alpha,\alpha^{\sigma},\cdots,\alpha^{\sigma^{m-1}}$ 上作用相同.

若 $m=n$, 則 $\sigma=\sigma_1$ 是一個輪換; 若 $m<n$, 則在剩余文字中選取 $\beta$ 重複上述過程, 得到輪換

$$\sigma_2=\left(\beta,\beta^{\sigma},\cdots,\beta^{\sigma^{r-1}}\right)$$

由於 $\sigma$ 是一一映射, $\sigma_1$ 與 $\sigma_2$ 不相交. 繼續此過程即可得到 $\sigma$ 的輪換表法.

表法唯一性是顯然的. $\square$

推論: 若 $\sigma=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_s$, 其中 $\sigma_i$ 的長度為 $l_i$ ($i=1,2,\cdots,s$), 則 $\sigma$ 的階數等於 $l_1,l_2,\cdots,l_s$ 的最小公倍數 $[l_1,l_2,\cdots,l_s]$. 這是很明顯的.

置換的奇偶性 交錯群

置換的奇偶性

每個輪換都可表成一些對換的乘積:

$$(a_1,a_2,\cdots,a_m)=(a_1,a_2)(a_1,a_3)\cdots(a_1,a_m)$$

因此每個置換都可表成一些對換的乘積. 但表法不唯一, 例如:

$$\begin{pmatrix}1,2,3,4,5\\2,3,1,5,4\end{pmatrix}=(1,2)(1,3)(4,5)=(2,3)(1,2)(4,5)=(2,3)(1,2)(1,3)(4,5)(1,3)$$

定理: $n$ 元置換 $\sigma$ 表成對換的乘積後, 乘積中對換個數的奇偶性由 $\sigma$ 唯一確定, 且與 $n$ 元排列 $1^{\sigma},2^{\sigma},\cdots,n^{\sigma}$ 的奇偶一致.

逆序數: 規定標準排序由小到大, 若排列中某兩個元素排列的次序與標準次序不同, 就稱這兩個數構成一個逆序, 一個排列中所有逆序的總和稱為這個排列的逆序數, 記作 $N(p_1,p_2,\cdots,p_n)$, 如 $N(1,2,3,4)=0$, $N(1,2,4,3)=1$.

排列的奇偶性: 逆序數為奇數的排列是奇排列, 反之為偶排列.

證明: 設 $\sigma=\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_m$, 即將 $m$ 次對換作用於 $1,2,\cdots,n$ 上. 對換改變數列的奇偶, $m$ 次對換就將奇偶改變 $m$ 次, 由於 $1,2,\cdots,n$ 是一個偶排列, 所以 $m$ 的奇偶性與 $1^{\sigma},2^{\sigma},\cdots,n^{\sigma}$ 一致. $\square$

交錯群

若 $n$ 元置換 $\sigma$ 可以表成奇數個對換的乘積, 則稱 $\sigma$ 為奇置換, 反之則為偶置換.
從定義可知, 在 $n!$ 個 $n$ 元置換中, 奇偶置換個數相同, 都為 $n!/2$ 個. 恆等置換是偶置換, 兩個偶置換之奇為偶置換, 偶置換的逆置換也是偶置換.

於是, $n$ 元偶置換對置換的乘法構成一個群, 其階為 $n!/2$, 稱為 $n$ 元交錯群, 記作 $A_n$.

選取對稱群 $S_n$ 中每個元素取其平方, 所得平方元恰好是對稱群的一半, 且構成對應的交錯群, 例如從 $S_3$ 構造 $A_3$:

原始元素	平方元素
$e$	$e$
$(1,2)$	$e$
$(2,3)$	$e$
$(1,3)$	$e$
$(1,2,3)$	$(1,2)(2,3)$
$(1,2)(2,3)$	$(1,2,3)$

這樣做的原理在於對稱群中原始置換平方後全部轉化為偶置換, 消除了所有奇置換, 滿足交錯群的條件.

置換群

定義

由 $n$ 元置換組成的群稱為 $n$ 元置換群, 例如 $n$ 元對稱群和 $n$ 元交錯群都是 $n$ 元置換, 顯然 $n$ 元置換群都為 $n$ 元對稱群的子群.

一個置換實際變動的文字個數稱為這個置換的次數, 而一個置換群實際變動的文字個數稱為這個群的次數, 例如 $(1,2,3)$ 是一個3次置換, $G=\lbrace e,(1,2,3),(1,3,2)\rbrace$ 是一個3次置換群.

凱萊圖

置換群的凱萊圖可以表示為凸多面體, 稱為置換多面體, 其中一些置換群的凱萊圖對應於正多面體.

$A_4$ 的凱萊圖對應於正四面體: $S_4$ 的凱萊圖對應於正六面體或正八面體:

$A_5$ 的凱萊圖對應於正十二面體或正二十面體:

由於三維空間中正多面體只有五種, 更高階的一些置換群的凱萊圖對應於高維正多面體.

可以看到 $S_4$ 和 $A_5$ 對應的正多面體不唯一, 由歐拉示性數定理可知正多面體滿足:

$$\left(\frac{2}{m}+\frac{2}{n}-1\right)E=2$$

其中 $m$ 表示一個面的邊數或頂點數, $n$ 表示每個頂點關聯的棱數, $E$ 表示總棱數, 於是:

• $m=4$, $n=3$, $E=12$, 對應正六面體;
• $m=3$, $n=4$, $E=12$, 對應正八面體;
• $m=5$, $n=3$, $E=30$, 對應正十二面體;
• $m=3$, $n=5$, $E=30$, 對應正二十面體.

可以看到正六面體和正八面體的 $m,n$ 相反, $E$ 相同, 正十二面體和正二十面體也有相同的關係. 則這樣一對多面體互為對偶多面體. 這其實意味著群的同構.