群論學習筆記-1.群的概念

群是代數的結構, 也是數學中最早被認識和研究的結構, 並且這個 “群” 的結構在 “在十九世紀逐步征服了數學這門科學”. (皮亞傑《結構主義》)

本學習筆記記錄我自學群論 (主要是有限群論) 的一些思考與總結.

主要參考內森·卡特《群論彩圖版》和王萼芳《有限群論基礎》

直觀理解

一言以蔽之, 群論是研究對稱 (Symmetry) 的理論, 但究竟什麼是 “對稱”?

翻轉開關

現在我們有兩個開關, 每個開關有開合兩種狀態. 可以看到這兩個開關的組合共有4種狀態, 對其有2種基本操作, 即 “翻轉開關1” 和 “翻轉開關2”, 每一種狀態都可由基本操作的組合得到.

翻轉長方形

一張長方形紙片, 對其進行 “豎直翻轉” 和 “水平翻轉” 操作:

可以看到這種操作與翻轉開關很相似, 每次操作將對象變換為另一種狀態, 但對象本身在某種意義上保持不變.

對稱與群

上面的兩種操作可抽象為等價的作用, 兩種操作表示同一個群. 這些作用 (Action) 即為對稱 (Symmetry), 而這些作用的集合就是一個群.

事實上, 對稱 (Symmetry) 就是對某個數學對象的 (可逆) 變換, 可以理解為映射 $\phi : X\to X$, 即從狀態集合中的一個狀態轉換為另一個狀態.

一些給定的作用的系統或集合就是一個群, 這些作用滿足如下性質:

• 每個作用都是可逆的,
• 每個作用都是確定性的,
• 任何連續作用的序列仍是一個作用,
• “什麼也不做” 也是一個作用.

一個群可以看作作用的集合, 也可看作定義了某種作用的狀態的集合.

最基本的作用稱為生成元 (Generators), 生成元的集合為生成集合, 一般表示為 $S$, $S$ 是最小的使群中所有元素都可表示為 $S$ 中元素乘積的子集 (子群).

特別地, 若群中任意兩個連續作用交換後結果相同, 此群為交換群 (Abel 群).

凱萊圖

凱萊圖 (Cayley graph) 是群的可視化工具, 將上面的作用圖簡化, 即可得到這個群的凱萊圖:

這個群就是 Klein 四元群 $V_4$.
圖中不同顏色的邊表示不同生成元, 若某生成元 $s=s^{-1}$, 該生成元用無向邊表示, 否則用有向箭頭表示.

由群作用的性質, 可以得到凱萊圖主要的一些性質:

• 連通性 (Connectedness): 圖是連通的;
• 同質性 (Homogeneity): 對任意頂點對 $x,y$, 僅有一種著色圖同構將 $x$ 映射到 $y$;
  這點是說, 任何圖論陳述從 $x$ 頂點出發為真, 則從 $y$ 頂點出發亦為真, 保證了群作用關係的一致性. (例如在 $S_3$ 中, 任意頂點出發 $f\cdot r\cdot f=r^{-1}$ 恆成立)
• 正則性 (Regularity): 對任意顏色 $s\in S$ ($S$ 即生成集合), 有一條 $s$-邊指向頂點 $x$, 一條 $s$-邊從頂點 $x$ 發出, 若$S$ 中有 $k$ 個元素, 則每個頂點都有 $k$ 條邊指入, $k$ 條邊指出.

(From Cayley graphs and the geometry of groups by Terence Tao)

代數定義

定義

設 $G$ 是一個非空集合, 在 $G$ 中定義了一種代數運算, 稱為 “乘法”, 記作 “$\cdot$”.
若 $G$ 對這種運算滿足如下條件:

• 封閉性: $\forall a,b\in G$, $a\cdot b\in G$,
• 結合律: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$,
• 單位元的存在: 存在 $e\in G$ 使 $e\cdot a=a\cdot e=a$,
• 逆元的存在: $\forall a\in G$, 存在 $a^{-1}$ 使 $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e$.

則稱 $G$ 為一個群.

若群 $G$ 還滿足交換律, 那麼 $G$ 就稱作一個交換群或 Abel 群, 交換群的運算可用加法表示, 記作 “$+$”.

此時, 該運算滿足:

• 封閉性: $\forall a,b\in G$, $a+b\in G$,
• 結合律: $(a+b)+c=a+(b+c)$,
• 零元素的存在: 存在元素 $0$ 使 $0+a=a+0=a$,
• 負元素的存在: $\forall a\in G$, 存在 $-a$ 使 $(-a)+a=a+(-a)=0$,
• 交換律: $\forall a,b\in G$, $a+b=b+a$.

簡單性質

• 單位元唯一,
• 每個元素只有一個逆元, 且 $(a^{-1})^{-1}=a$,
• 消去律成立: 若 $ab=ac$, 則 $b=c$; 若 $ba=ca$, 則 $b=c$,
• 指數律成立: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$,
• 若 $ab=ba$, 則 $(ab)^n=a^nb^n$,
• 對任意元素 $a,b$, $ax=b$ 有唯一解.

群的階

如果群 $G$ 包含的元素個數有限, 則稱 $G$ 為有限群, 否則稱$G$為無限群.
例如, Klein 四元群是有限群, $\mathbb{Z}$ 上的加法群是無限群.

有限群 $G$ 所包含的元素個數稱為 $G$ 的階, 記作 $|G|$. 設 $a$ 是 $G$ 中一個元素, 若存在正整數 $k$ 使 $a^k=e$, 則 $a$ 為有限階元素, 滿足 $a^k=e$ 的最小正整數 $k$ 為 $a$ 的階. 單位元是唯一的1階元素, 有限群的所有元素都為有限階元素.
例如, Klein 四元群是4階群 (階數最小的非循環群), 除單位元外, 它的所有元素都是2階的.

若 $a$ 是 $G$ 的 $k$ 階元素, $a^l=a^m\Longrightarrow k\mid l-m$;
若 $a$ 是 $G$ 的無限階元素, $a^l=a^m\Longrightarrow l=m$.