OpAEOLUS-2.數學模型

簡單受力分析

如圖, 可得^[1][2]:

$$F_v=F\sin\theta$$ $$F_L=F_v\cos\theta=F\sin\theta\cdot\cos\theta=\frac{1}{2}F\sin2\theta$$ $$F_D=F_v\sin\theta=F\sin\theta\cdot\sin\theta=F\sin^2\theta$$

可知當 $\theta=45°$ 時 $F_L$ 取到最大值. 有文獻直接由此得出拋射角為45°最佳, 實則不然, 紙飛機俯仰角度在飛行過程中時刻發生變化, 必須進行整體分析, 而這裡的受力分析僅針對拋起瞬時, 故只能作為簡單參考.

簡單軌跡方程

對紙飛機豎直平面中位置分析, 可得^[3]:

$$\begin{cases} x(t)=vt\cdot\cos\theta\\ y(t)=vt\cdot\sin\theta-\frac{gt^2}{2} \end{cases}$$

可得紙飛機軌跡方程為:

$$y=x\cdot\tan\theta-\frac{x^2g}{2v^2\cos^2\theta}$$

求導得:

$$y'=\tan\theta-\frac{xg}{v^2\cos^2\theta}$$

當 $v'=0$ 時, $x=\frac{v^2}{2g}\sin^2\theta$, 當 $\theta=45°$ 時, $x_{max}=\frac{v^2}{2g}$, 由此得最佳拋射角的確為45°.

這樣的推導邏輯上沒有問題, 但考慮因素太少, 把紙飛機飛行理想化為簡單拋體運動, 結果誤差極大. 對於紙飛機這種質量、初速度小的飛行體, 考慮空氣升阻力是必要的.

較複雜的數學模型

上升階段 $y$ 方向:

$$G+F_D\cdot\sin\theta-F_L\cdot\cos\theta=ma_{1y}$$ $$v_{0y}=v_0\cdot\sin\theta$$ $$v_{1y}=v_{0y}-\int_{0}^{t_1} a_{1y}\cdot t\mathrm{d}t$$ $$h=h_0+\int_{0}^{t_1} v_{1y}\cdot t\mathrm{d}t$$

下降階段 $y$ 方向:

$$G-F_D\cdot\sin\beta-F_L\cdot\cos\beta=ma_{2y}$$ $$v_{2y}=\int_{0}^{t_2} a_{2y}\cdot t\mathrm{d}t$$ $$h=\int_{0}^{t_2} v_{2y}\cdot t\mathrm{d}t$$

上升階段 $x$ 方向:

$$F_D\cdot\cos\theta+F_L\cdot\sin\theta=ma_{1x}$$ $$v_{0x}=v_0\cdot\cos\theta$$ $$v_{1x}=v_{0x}-\int_{0}^{t_1} a_{1x}\cdot t\mathrm{d}t$$ $$s_1=\int_{0}^{t_1} v_{1x}\cdot t\mathrm{d}t$$

下降階段 $x$ 方向:

$$F_L\cdot\sin\beta-F_D\cdot\cos\beta=ma_{2x}$$ $$v_{2x}=\int_{0}^{t_2} a_{2x}\cdot t\mathrm{d}t$$ $$s_2=\int_{0}^{t_2} v_{2x}\cdot t\mathrm{d}t$$

最終得到 $s=s_1+s_2$. ^[1] (部分過程有修改)

同時, 定性分析過程可得大致軌跡如下圖:

與現實情況基本符合.

此模型考慮因素較多, 同時也較好理解, 但未知變量多, 且多次積分, 難以計算. 本次研究將主要參考此模型進行修改, 希望得出更好的數學模型.

參考

[1]尚余祥. 利用理論力學知識對紙飛機飛行距離的研究[J]. 科技風, 2019, 7: 225-227
[2]高吉, 賈文太. 紙飛機投擲的數學模型[J]. 科技風, 2019, 9: 77
[3]董曉紅, 康平. 紙飛機的飛行原理數學建模[J]. 科技風, 2019, 11: 83