關於群 GL(3,2)

設 $V$ 為域 $\mathbb{F}_2=\lbrace 0,1\rbrace$ 上的三維向量空間, 考慮 $V$ 上的一般線性群 $\text{GL}(3,2)$, 該群由 $\mathbb{F}_2$ 上的全體 $3\times3$ 可逆矩陣構成.

對於矩陣 $A\in\text{GL}(3,2)$, $\det A\not=0$. $A$ 的第一行可取任意非零行向量, 共有 $2^3-1=7$ 種取法; 第二行可取任意不同於第一行的非零行向量, 共有 $6$ 種取法; 第三行需不同於第一行, 第二行以及前兩行的線性組合, 共有 $7-3=4$ 種取法 ($2v=0$, 所以 $v,w$ 不同於自身的線性組合僅有 $v+w$). 由此可知, 群的階數為 $|\text{GL}(3,2)|=7\cdot6\cdot4=168$.

考慮域 $\mathbb{F}_8=\mathbb{F}_2[X]/\langle X^3+X+1\rangle$, 令 $x=X+\langle X^3+X+1\rangle$, 則 $\mathbb{F}_8$ 可看作 $\mathbb{F}_2$ 上的三維向量空間, 其一組基為 $\mathcal{B}=(x^2,x,1)$. 因此, $V=\mathbb{F}_2^3$ 的一個線性變換自然對應於 $\mathbb{F}_8$ 的一個線性變換, $L\mapsto[L]_\mathcal{B}$ 給出了同構 $\text{GL}(3,2)\cong\text{GL}(\mathbb{F}_8)$.

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將每個非零向量 $u\in V$ 生成的子空間 $\langle u\rangle$ 看作一個點, 兩個互異非零向量生成的子空間 $\langle v,w\rangle$ 看作一條直線, 我們稱點 $\langle u\rangle$ 在直線 $\langle v,w\rangle$ 上, 如果子空間 $\langle u\rangle\subset\langle v,w\rangle$, 即 $\det(u,v,w)=0$. 據此很容易畫出如下點-線關聯圖:

該圖由 $7$ 個點和 $7$ 條直線 (包括中間的圓) 構成, 每條直線上恰有 $3$ 個點, 每點恰經過 $3$ 條直線, 任意一對點間有且僅有一條直線將其聯結. 事實上, 每條直線恰是一個點 (作為子空間) 的正交補, 這給出了點-線間的對偶關係 (稱為自對偶性), 同時也解釋了為何共有 $7$ 條直線.

這樣定義的點-線關聯圖可以看作 $\mathbb{F}_2P^2$ ($\mathbb{F}_2$ 上的射影平面) 的一個模型, 稱為 Fano 平面. 這是最小的有限射影幾何系統, 它滿足如下公理:

• 至少存在一條直線.
• 每條直線上恰有 $3$ 點.
• 並非所有點在同一條直線上.
• 任意兩點間恰有一條直線.
• 任意兩條直線至少交於一點.

這組公理具有範疇性, 它決定了同構意義下唯一的 Fano 幾何. 儘管如此, Fano 幾何的直觀模型並不只有 Fano 平面 (當然它們都是等價的).

Fano 平面的自同構群 $\text{Aut}(\mathbb{F}_2P^2)=\text{PSL}(3,2)$, 即 $\mathbb{F}_2$ 上的三維射影特殊線性群 (嚴格來說還應該要複合上域自同構, 但在 $\mathbb{F}_{2}$ 中可以不必考慮). 顯然, $\text{PSL}(3,2)=\text{GL}(3,2)$. 根據上文對階數的分析, $V=\mathbb{F}_2^3$ 的任意三個非共面向量決定了 $V$ 的一個自同構, 於是 Fano 平面上任意的有序非共線三點組決定了 Fano 平面的一個自同構.

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設 $F$ 為域, $F^4$ 中每條過原點的直線對應於射影平面 $FP^2$ 中的一個點, 取 $P_1=[1:0:0]$, $P_2=[0:1:0]$, $P_3=[0:0:1]$, $P_4=[1:1:1]$, 並令

$$\begin{aligned} R_1=\overline{P_{1}}\overline{P_{2}}\cap\overline{P_{3}P_{4}}=[1:1:0] \\ R_2=\overline{P_{1}}\overline{P_{3}}\cap\overline{P_{2}P_{4}}=[1:0:1] \\ R_3=\overline{P_{1}}\overline{P_{4}}\cap\overline{P_{2}P_{3}}=[0:1:1] \end{aligned}$$

容易看出: 域 $F$ 特徵為 $2$ $\Longleftrightarrow$ $R_1$, $R_2$, $R_3$ 共線.

反之, 如果 $F$ 的特徵不為 $2$, 那麼這三點一定不共線, 這被稱為 Fano 公理: 任一完全四邊形的三個對角點都不共線. 需要注意的是, Fano 平面恰恰並不滿足 Fano 公理.

一般地, 對任何特徵為素數 $p$ 的域 $F$, $F$ 的特徵都可由射影平面 $FP^2$ 上相應的幾何公理來刻畫.

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考慮群 $\text{PSL}(2,7):=\text{SL}(2,7)/Z(\text{SL}(2,7))=\text{SL}(2,7)/{\lbrace I,-I\rbrace}$. 任意 $A\in\text{GL}(2,7)$, $A$ 的第一行可取 $\mathbb{F}_7^2$ 中任意非零行向量, 共有 $7\cdot 7-1=48$ 種取法; 第二行可取任意不與第一行共線的非零行向量, $48-6=42$ 種取法. 顯然

$$|\text{SL}(2,7)|=|\text{GL}(2,7)|/6=48\cdot 42/6=336$$

於是 $|\text{PSL}(2,7)|=|\text{SL}(2,7)|/2=168$.

記射影直線 $\mathbb{F}_7P^1=\lbrace 0,1,2,\cdots,6,\infty\rbrace$, 對於 $A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\in\text{PSL}(2,7)$, $A$ 確定了 $\mathbb{F}_7P^1$ 的一個 Möbius 變換:

$$f:x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d},\enspace ad-bc=1$$

注意對 $A$ 乘以常數倍不改變對應的 Möbius 變換, 因此 $\text{PSL}(2,7)$ 事實上給出了 $\mathbb{F}_7P^1$ 所有保定向的自同構, 我們把這樣的 $f$ 的構成的集合記作 $\text{SLT}(7)$. 而更大的群 $\text{PGL}(2,7)$ 則給出了 $\mathbb{F}_7P^1$ 的全部自同構 (即可以不保定向).

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下面證明 $\text{PSL}(2,7)\cong\text{PSL}(3,2)=\text{GL}(3,2)$. (參考這篇)

只需構造一個同構映射 $T:\text{SLT}(7)\to\text{GL}(\mathbb{F}_8)$ 即可. 為此, 對每個 $f\in\text{SLT}(7)$ 需指定一個 $\mathbb{F}_8$ 的線性變換 $T(f)=T_f$.

(1) 對於本文開頭定義的 $x$, 顯然 $x$ 通過乘法生成了 $\mathbb{F}_8$ 的全部非零元素. 定義 $x^{\infty}=0$, 則有 $\mathbb{F}_8=\lbrace x^k:k\in\mathbb{F}_7P^1\rbrace$. 對任意 $f\in\text{SLT}(7)$, 定義

$$T_f(x^k)=x^{f(k)}+x^{f(\infty)},\enspace k\in\mathbb{F}_7P^1$$

加上 $x^{f(\infty)}$ 是為了保證 $T_f(0)=0$:

$$T_{f}(0)=T_{f}(x^{\infty})=x^{f(\infty)}+x^{f(\infty)}=2x^{f(\infty)}\equiv 0$$

(2) 容易驗證, $\text{SLT}(7)$ 可由如下 $3$ 個 Möbius 變換生成 (注意模 $7$ 的二次剩餘僅有 $1,2,4$), 即 $\text{SLT}(7)=\langle r,t,\delta\rangle$:

• $r(k)=-1/k$,
• $t(k)=k+1$,
• $\delta(k)=2k$.

$r(k)=-1/k$ 確定了 $\mathbb{F}_7P^1$ 的如下置換: $$r=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \infty \\ \infty & 6 & 3 & 2 & 5 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

在 $\mathbb{F}_8$ 中, $x^k$ 對應於 $\mathbb{F}_2$ 上全部次數低於 $3$ 的多項式, 據此給每個 $x^k$ 指派一個三元組, 即 $x^k$ 在基 $\mathcal{B}=(x^2,x,1)$ 下的坐標:

$$\begin{array}{cccccccc} x^0=1 & x^1 & x^2 & x^3 & x^4 & x^5 & x^6 & x^{\infty}=0 \\ \hline 001 & 010 & 100 & 011 & 110 & 111 & 101 & 000 \\ \end{array}$$

於是 $T_r$ 可表示為如下置換 (注意 $x^{f(\infty)}=1$):

$$T_{r}=\begin{pmatrix} 001 & 010 & 100 & 011 & 101 & 110 & 111 & 000 \\ 001 & 100 & 010 & 101 & 011 & 110 & 111 & 000 \end{pmatrix}$$ $T_r$ 交換坐標的前兩個分量, 所以是線性的, 表示為矩陣形式: $$[T_{r}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

同理, 易驗證 $T_t$ 和 $T_{\delta}$ 也是線性的:

$$[T_{t}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\enspace [T_{\delta}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

於是對 $3$ 個生成元 $r,t,\delta$ 有 $T_r,T_t,T_{\delta}\in\text{GL}(\mathbb{F}_{8})$.

(3) 對任意 $k\in\mathbb{F}_7P^1$, 我們有

$$\begin{aligned}T_{f}\circ T_{g}(x^k)&= T_{f}(x^{g(k)}+x^{g(\infty)}) \\ &=T_{f}(x^{g(k)})+T_{f}(x^{g(\infty)}) \\ &=x^{f\circ g(k)}+x^{f\circ g(\infty)}+2x^{f(\infty)} \\ &=x^{f\circ g(k)}+x^{f\circ g(\infty)} \\ &=T_{f\circ g}(x^k) \end{aligned}$$

因此 $T(f\circ g)\in\text{GL}(\mathbb{F}_{8})$, 從而對任意 $f\in\text{SLT}(7)$ 都有 $T(f)\in\text{GL}(\mathbb{F}_{8})$.

$T:\text{SLT}(7)\to\text{GL}(\mathbb{F}_8)$ 顯然是一個單同態, 又由於 $\text{SLT}(7)$ 和 $\text{GL}(\mathbb{F}_{8})$ 有相同的元素個數, $T$ 是一個雙射, 所以它給出了 $\text{SLT}(7)$ 和 $\text{GL}(\mathbb{F}_{8})$ 間的同構. 這就證明了 $\text{PSL}(2,7)\cong\text{GL}(3,2)$.

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設 $q=p^n$ 為素數冪, 則 $\text{PSL}(n,q)$ 為單群, $\text{PSL}(2,2)\cong S_{3}$ 和 $\text{PSL}(2,3)\cong A_{4}$ 除外. 特別地, $\text{PSL}(2,7)\cong\text{GL}(3,2)$ 是第二小的非交換單群. (這裡參考的是 R. Wilson 的 The Finite Simple Groups)

引理 (Iwasawa): 設 $G$ 為一個有限完美群, 若 $G$ 忠實且本原地 (primitively) 作用在集合 $\Omega$ 上, 使得某個點 (從而所有點, 因為軌道中所有點的穩定化子共軛, 而傳遞性表明總共只有一條軌道) 的穩定化子 $H$ 有交換的正規子群 $A$, 且 $A$ 的共軛生成整個群 $G$, 則 $G$ 是單群.

其中的一些概念:

• 完美群: $G$ 的所有換位子 $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ ($g,h\in G$) 構成 $G$ 的一個子群, 記作 $G$ 的導群 $G'$, 若 $G=G'$ 則稱 $G$ 是一個完美群.
• 本原作用: 設群作用 $\varphi:G\times\Omega\to\Omega$, 稱 $\Delta\subseteq\Omega$ 為一個區塊 (block), 如果對任意 $g\in G$ 有: (1) $g\Delta=\Delta$, 或 (2) $g\Delta\cap\Delta=\emptyset$. 若 $\varphi$ 是傳遞的且沒有非平凡區塊, 則稱 $\varphi$ 為一個本原作用.

證明: 反設 $G$ 不是單群, 則存在正規子群 $K\lhd G$. 由於群作用是忠實的, $K$ 不能保持 $\Omega$ 的所有元素不動, 因此可以找到一點 $a$ 的穩定化子 $H$ 滿足 $K\nleq H$. 假設存在 $G$ 的子群 $M$ 滿足 $H\le M\le G$, 令 $\Delta=\lbrace m(a):m\in M\rbrace$, 易驗證 $\Delta$ 是 $\Omega$ 的一個區塊, 由於群作用是本原的, 必有 $\Delta=\lbrace a\rbrace$ 或 $\Delta=G$, 即或者 $M=H$ 或者 $M=G$. 由此可知 $H$ 是 $G$ 的極大子群, 於是 $HK=G$. 因此, 任意 $g\in G$ 可寫作 $g=hk$ ($h\in H$, $k\in K$), 於是對於 $H$ 的交換正規子群 $A$, 由於 $K\lhd G$, 我們有 $gAg^{-1}=k^{-1}h^{-1}Ahk=k^{-1}Ak\le AK$, 表明 $AK=G$, 從而 $G/K=AK/K\cong A/{A\cap K}$ 是交換群, 這與 $G$ 是完美群矛盾 ($G/K$ 是交換群當且僅當 $G'\le K$). $\square$

定理: $\text{PSL}(n,q)$ 為單群, 其中 $(n,q)\neq(2,2),(2,3)$.

證明: 令 $\text{PSL}(n,q)$ 作用在 $\mathbb{F}_q^n$ 的全體一維子空間 (直線) 構成的集合 $\Omega$ 上, 由基變換的任意性可知該作用是 $2$-傳遞的, 因而是本原作用. 考慮子空間 $\langle (1,0,\cdots,0)\rangle$, 其穩定化子 $H$ 由所有第一行為 $(\lambda,0,\cdots,0)$ 且行列式為 $1$ 的 $n\times n$ 矩陣構成, 易見由矩陣 $\begin{pmatrix}1 & 0_{n-1} \\v_{n-1} & I_{n-1}\end{pmatrix}$ ($v_{n-1}$ 是任意 $n-1$ 維列向量) 生成的群 $A$ 是 $H$ 的一個交換正規子群. 進而, $A$ 中任意元素 $t$ 滿足 $\text{rank}(t-I_n)=1$ 且 $(t-I_n)^2=0$, 稱滿足這兩個條件的線性變換為錯切 (transvection). 通過適當選取基, 任意錯切變換都被包含在 $A$ 的共軛中; 由於任何行列式為 $1$ 的矩陣都能經由初等行變換化為單位矩陣, 群 $\text{PSL}(n,q)$ 可由錯切變換生成, 因此 $A$ 的共軛生成了 $\text{PSL}(n,q)$. 最後, 注意到

$$\left[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & x & 1\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ -x & 0 & 1\end{pmatrix}$$

於是當 $n\ge 3$ 時, 每個錯切都能表為 $\text{PSL}(n,q)$ 的換位子 (通過適當選取基並藉助共軛). 當 $n=2$, $q>3$ 時, $\mathbb{F}_q$ 包含非零元 $x$ 使得 $x^2\neq 1$, 於是

$$\left[\begin{pmatrix}1 & 0 \\y & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x & 0 \\0 & x^{-1}\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ y(x^2-1) & 1 \end{pmatrix}$$

給出了 $A$ (從而 $A$ 的共軛) 中的任意元. 由此可知, 在題設條件下, $\text{PSL}(n,q)$ 是完美群. 使用引理即可完成證明. $\square$