簡諧運動與單擺周期

1. 簡諧運動

第一種推導方法

設彈簧勁度系數為 $k$, 簡諧運動位移方程為:

$$x=A\sin(\omega t+\varphi)$$

直接求導得速度:

$$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$$

再求導得到加速度:

$$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi)$$

由 $F=ma=-kx$ 可得方程

$$-kx=mA\omega^2\sin(\omega t+\varphi)=-m\omega^2x$$

解得 $\omega=\sqrt{k/m}$, 又由 $T=2\pi/\omega$, 得

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

第二種推導方法

簡諧運動能量不變, 因此使用能量法也很方便.
根據能量守恆, 系統最大動能等於最大勢能:

$$E_{p\max}=E_{k\max}$$

同時根據 $v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$, 得到 $v_{\mathrm{max}}=A\omega$, 代入得:

$$E_{p\max}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2=E_{k\max}=\frac{1}{2}kA^2$$

直接求得 $\omega$, 之後同上.

第三種推導方法

經過一個巧妙的變換, 可將簡諧運動與勻速圓周運動關聯, 於是得到第三種推導方法.

考慮勻速圓周運動在豎直方向上的投影, 可以證明其是簡諧運動:

設物體與圓心連線同豎直方向的夾角為 $\theta$, 回復力 $F'=F\cos\theta$, $x=R\cos\theta$, 由於 $F$ 和 $R$ 是定值, 有

$$F'=\frac{F}{R}x=kx$$

所以勻速圓周運動在豎直方向上的投影是簡諧運動, 同時該簡諧運動的周期即為勻速圓周運動周期.
當物體位移為 $R$ (在圓頂部) 時, 簡諧運動回復力恰等於向心力, 可得 $F=kR$, 代入向心力公式得:

$$kR=m\omega^2R=m\frac{4\pi^2}{T^2}R$$

直接解方程即可得到:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

2. 推廣-阻尼振動

多數教輔上說阻尼振動周期大小不變, 但有些地方又說周期大小增大. 周期大小其實是近似推導得到的, 而教輔上說 “周期不變是因為其為固有屬性” 是不正確的, 阻尼振動的固有周期其實與無阻尼振動的不同. 我讀了《振動力學(第三版)》的相關部分, 簡記阻尼振動的周期推導過程如下. (抄書)

認為空氣阻力和液體潤滑界面阻力在物體運動速度不大時, 近似與速度成正比, 稱為黏性阻尼, 阻力表示為 $F_d=c\dot{x}$, $c$ 為黏性阻尼系數. 據此可以直接寫出振動方程:

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$

各項除以 $m$, 即可化成阻尼自由振動的標准形式:

$$\ddot{x}+2\zeta\omega_n\dot{x}+\omega_n^2x=0$$

其中 $\omega_n$ 是無阻尼系統的固有角頻率, 系數 $\zeta$ 表征阻尼強弱, 稱為阻尼比, 分別定義為:

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}$$

根據常微分方程理論, 將特解 $x=e^{\lambda t}$ 代入方程可得特征方程:

$$\lambda^2+2\zeta\omega_n\lambda+\omega_n^2=0$$

於是解出特征解:

$$\lambda_{1,2}=-(\zeta\mp\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$$

接下來分三種情況討論.
當 $\zeta<1$ 時為欠阻尼狀態, 方程通解為:

$$x=e^{-\zeta\omega_n t}(C_1\cos\omega_d t+C_2\sin\omega_d t)$$

也可以寫作:

$$x=Ae^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t+\theta)$$

圖像大致如下:

可以看到振動圖像具有包絡線, 振幅以 exp 函數的形式衰減, 但周期不隨時間變化.

式中 $A$ 和 $\theta$ 分別是初始幅值和初相角, 由初始條件確定, 具體不多贅述. 重點是$\omega_d$, 其為阻尼振動的固有角頻率, 不隨時間變化, 但小於無阻尼振動的固有角頻率 $\omega_n$, 表示為:

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

由此可得阻尼振動的固有周期, 大於無阻尼振動的固有周期:

$$T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}=\frac{T_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}$$

此外衰減振動的相鄰振幅之比也是常數 (exp函數的性質), 稱為減縮因數 $\eta$.

當 $\zeta>1$ 為過阻尼狀態, 運動失去往復性, 成為衰減的非往復運動.
當 $\zeta=1$ 則為介於前兩種狀態之間的臨界狀態.

以上只是簡略的討論, 具體參見《振動力學》.

3. 小角度單擺

忽略空氣阻力等因素, 擺動角度極小的單擺可以看作簡諧運動, 如圖:

位移 $x=L\theta$; 因為物體所受合外力與運動軌跡相切, 所以 $F=-mg\sin\theta$, 由於 $\lim_{\theta\to0}\sin\theta=\theta$, 所以近似地 $F=-mg\theta$, 於是:

$$k=-\frac{F}{x}=\frac{mg}{L}$$

代入簡諧運動周期公式可得單擺運動周期:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

4. 推廣-一般的單擺

只有擺動角度極小的單擺可以看作簡諧運動, 對於角度較大的單擺, 情況會復雜許多, 其周期甚至不能用基礎函數表示.

忽略空氣阻力等因素, 取物理符號同上, 則運動方程為:

$$mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta$$

從這個方程可知, 周期與物體質量無關. 但這個方程不好求解, 於是換個角度, 從能量守恆入手, 設 $\theta$ 角的最大值為 $\theta_0$, 在下落過程中, 重力勢能轉化為動能, 得到:

$$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t})^2=mgh=mgl(\cos\theta-\cos\theta_0)$$

化簡, 並取倒數得:

$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}}\frac{1}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$$

因為 $T=\theta_0\to0\to-\theta_0\to0\to\theta_0=4(\theta_0\to0)$, 所以:

$$T=4\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{L}{g}}\int_{0}^{\theta_0}\frac{1}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\mathrm{d}\theta$$

這個積分不能用基礎函數表示, 但可以表示為第一類橢圓積分:

$$T=4\sqrt{\frac{L}{g}}F(\sin\frac{\theta_0}{2},\frac{\pi}{2})$$

其中

$$F(k,\phi)=\int_{0}^{\phi}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta$$

參考 Wikipedia.
(話說最近老是遇到橢圓積分, 打算有空了就研究一下這個. )