群論學習筆記-5.群的陪集分解

直觀理解

觀察一個群的凱萊圖, 容易發現它的一個子群的結構在整個群中反覆出現. 例如群 $G=S_3$, 其中子群 $H=C_2=\lbrace e,f\rbrace$ 的結構出現3次:

這3個相同的結構稱為 $H$ 在群 $G$ 中的陪集, 更準確地說是左陪集, 分別表示為 $eH=e\langle f\rangle=\{e,f\}$, $rH=r\langle f\rangle=\{r,rf\}$ 和 $r^2H=r^2\langle f\rangle=\{r^2,r^2f\}$.

類似的情況在各群中都存在, 用 $aH$ 來表示子群 $H$ 的左陪集, 即 $H$ 中各元素左乘 $a$ 得到的集合.

除左陪集之外, 也存在右陪集 $Ha$, 即 $H$ 中各元素右乘 $a$ 得到的集合. 在上面的凱萊圖中, 左陪集保留了原子群的結構, 而右陪集卻很分散, 原因是規定箭頭的方向是左乘, 如果規定方向為右乘, 則情況恰恰相反. 左右陪集一般不相等, 滿足對任意元素 $g$, $gH=Hg$ 的特殊子群稱為正規子群, 是群論的重要研究對象.

左右陪集的許多性質是相同的. 觀察凱萊圖, 得到以下結論 (後文將用代數方法證明):

• 若元素 $b\in aH$, 則 $aH=bH$, 類似結論對右陪集也成立.
• 一個群的任意子群都有陪集, 且這些陪集恰覆蓋群中所有元素, 或者說, 任意子群的陪集恰劃分這個群.

代數定義

設 $H$ 是群 $G$ 的子群, 將 $H$ 中所有元素右乘 $g$ 得到的集合稱為 $H$ 在 $G$ 中的一個右陪集, 記為:

$$Ha=\lbrace xa : x\in H\rbrace$$

類似的, 有左陪集:

$$aH=\lbrace ax : x\in H\rbrace$$

例如, 整數加法群中所有7的倍數構成一個子群 $7\mathbb{Z}$, 它的陪集 (左右陪集相等) 可表示為:

$$i+7\mathbb{Z}=\lbrace i,i\pm7,i\pm14,i\pm21,\cdots\rbrace,\enspace i=1,2,\cdots,6$$

且容易看出:

$$\mathbb{Z}=7\mathbb{Z}\cup(1+7\mathbb{Z})\cup(2+7\mathbb{Z})\cup\cdots\cup(6+7\mathbb{Z})$$

性質

基本性質

$H$ 在 $G$ 中的陪集有如下性質 (僅討論右陪集, 結論對左陪集也成立):

1. $Ha$ 中的元素個數與 $H$ 中相等;
2. $H$ 本身是也一個陪集: $He=H$; $Ha=H$ 的充要條件是 $a\in H$;
3. $a$ 在陪集 $Ha$ 中 ($ea=a$), 將 $a$ 稱為 $Ha$ 的一個陪集代表;
4. 若元素 $b\in Ha$, 則 $Ha=Hb$;
   證明: 因為 $b\in Ha$, 所以有 $h\in H$ 使 $b=ha$, 所以 $Hb=Hha=Ha$.
5. $Ha=Hb\Longleftrightarrow ab^{-1}\in H$; 證明: 使用消去律得到 $Hab^{-1}=H$, 由性質2得到 $ab^{-1}\in H$.
6. 任意兩個陪集 $Ha,Hb$, 或者 $Ha=Hb$, 或者 $Ha\cap Hb=\varnothing$.
   證明: 若 $Ha\cap Hb\not=\varnothing$, 則存在 $c\in Ha$ 且 $c\in Hb$, 由性質4可得 $Ha=Hb$.

由性質6可知 $G$ 可被分解為多個不同的陪集的並:

$$G=Ha_1\cup Ha_2\cup\cdots\cup Ha_r$$

其中

$$Ha_i\cap Ha_j=\varnothing,\enspace i,j=1,2,\cdots,r,\enspace i\not=j$$

這個式子稱為 $G$ 的右陪集分解式. $r$ 是陪集的個數, 稱為 $H$ 在 $G$ 中的指數, 記作 $[G:H]$, $a_1,a_2,\cdots,a_r$ 稱為 $H$ 在 $G$ 中的右陪集代表系.

陪集分解的性質

由上述陪集的性質可以得到兩個重要的定理.

定理1(Lagrange): 群 $G$ 的階等於子群 $H$ 的階及 $H$ 在 $G$ 中的指數的乘積, 即: $$|G|=|H|\cdot[G:H]$$

證明: 設 $G$ 的右陪集分解式為 $G=Ha_1\cup Ha_2\cup\cdots\cup H_r$, 則 $|Ha_i|=|H|$, 所以 $|G|=|Ha_i|\cdot r=|H|\cdot[G:H]$. $\square$

推論: 有限群 $G$ 中每個元素的階都是 $G$ 的階 $|G|$ 的因子; 若 $G$ 的階等於 $n$, 則 $G$ 中任意元素 $a$ 滿足 $a^n=e$.

證明: 設 $a$ 是 $G$ 中的一個 $m$ 階元素, 則 $H=\langle a\rangle$ 是 $G$ 的一個子群, 且 $|H|=m$, 由 Lagrange 定理, $m\mid |G|$. 另一結論是顯然的. $\square$

定理2: 設 $G\ge H\ge K$, 則:

1. $[G:K]=[G:H]\cdot[H:K]$;
2. 若 $G$ 對 $H$ 的陪集分解為 $G=Hg_1\cup Hg_2\cup\cdots\cup Hg_l$, $H$ 對 $K$ 的陪集分解為 $H=Kh_1\cup Kh_2\cup\cdots\cup Kh_m$, 則 $G$ 對 $K$ 的陪集分解為 $G=\bigcup_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq l} Kh_ig_j$;
3. 若 $G$ 對 $K$ 的陪集分解為 $G=Ka_1\cup Ka_2\cup\cdots\cup Ka_t$, 則可以調整 $a$ 的順序, 使得 $Ha_{i+1}=Ka_{im+1}\cup Ka_{im+2}\cup\cdots\cup Ka_{(i+1)m}$, 其中 $0\leq i\leq l-1$.

證明:

1. $|G|=[G:H]\cdot|H|$, $|H|=[H:K]\cdot|K|$, 所以 $|G|=[G:H]\cdot[H:K]\cdot|K|$, 原式得證;
2. 陪集 $Kh_ig_j$ 共有 $lm$ 個, 與 $K$ 在 $G$ 中的指數相等, 同時易證這些陪集兩兩不相交, 於是定理得證;
3. 此為定理2的逆定理, 證明略. $\square$

推論: 設 $G\ge H\ge K$, 則:

1. 若 $g_1,g_2,\cdots,g_l$ 是 $H$ 在 $G$ 中的一個右陪集代表系, $h_1,h_2,\cdots,h_m$ 是 $K$ 在 $H$ 中的一個右陪集代表系, 則 $g_i h_j$ ($1\leq i\leq m,1\leq j\leq l$) 是 $K$ 在 $G$ 中的一個右陪集代表系. 特別地, 取 $g_1=e$, 可知這個右陪集代表系中包含 $h_1,h_2,\cdots,h_m$.
2. 在 $G$ 對 $K$ 的任一個右陪集代表系中, 總能得到一部分組成 $H$ 對 $K$ 的任一個右陪集代表系中.

應用

接下來使用基本群論證明 Fermat 小定理.

定理: $a^{p-1}\equiv1\mod p$, 其中 $p$ 為素數, $a=1,2,\cdots,p-1$.

證明: 在集合 $S=\lbrace1,2,\cdots,p-1\rbrace$ 中定義乘法 $a\cdot b=r$, 其中 $r$ 為 $p$ 除 $ab$ 的余數. 首先證明 $\langle S,\cdot\rangle$ 構成一個群:

• 封閉性: $(p,a)=(p,b)=1$, $p$ 除 $ab$ 必得到 $1$ 至 $p-1$ 的余數;
• 單位元: 存在單位元 $1$;
• 逆元: 對任意 $a$ 存在 $b$ 使得 $ab\equiv1\mod p$, 用 Bézout 定理即可.

由 Lagrange 定理得, 群中任意元素的階整除群的階. 這裡群的階是 $p-1$, 所以 $a^{(p-1)/k}\equiv1\mod p$, 其中 $k$ 為一整數, 於是根據同余的性質可得 $a^{p-1}\equiv1\mod p$. $\square$