多個圓的最小外切三角形-1

1. 問題

看到一個很有意思的問題：
把面積分別為1，2，3…99，100的100個圓平鋪在一個三角形裡，這個三角形至少有多大？ https://www.zhihu.com/question/612605604

然後我就聯想到了這個：

天知道這是怎麼算出來的……

這個問題的本質大概就是尋找多個圓的最小外切三角形（顯然必須相切，不然就不能最小，且每個圓也最好是相切的），在網上查了一下，沒發現什麼相關信息。感覺很有趣，那就稍微研究一下。
由於大小不同的圓過於復雜，這裡先考慮大小相等的圓。

2. 一個圓

嚴格證明

先考慮一個圓的情況。
一個圓的外切三角形面積最小值很好求，設圓半徑為$r$，三角形三個角為$A,B,C$，對邊分別為$a,b,c$，於是$S=1/2\cdot r(a+b+c)$，同時可以用$r$和三個角表示三邊：

$$\begin{aligned} a=r\cot\frac{B}{2}+r\cot\frac{C}{2}\\ b=r\cot\frac{A}{2}+r\cot\frac{C}{2}\\ c=r\cot\frac{A}{2}+r\cot\frac{B}{2} \end{aligned}$$

所以$S=r^2(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2})$，余切函數在$(0,\pi/2)$是凸函數，直接用琴生不等式就可以得到：

$$S_{min}=3r^2\cot\frac{A+B+C}{6}=3\sqrt{3}r^2$$

此時$A=B=C$，是等邊三角形。

幾何直觀

雖然使用琴生不等式很簡單，但似乎不易推廣到多個圓的情況，所以我想到了一種借助幾何直觀的方法。
當然這種方法很不嚴格，只是投機取巧的做法罷了，談不上證明。

如圖，固定兩條切線$AC$和$AB$，觀察第三條切線$BC$，不妨設$CD>BD$。作圓的切線$MN$，且切點為$MN$中點，作$NE\parallel MB$。
顯然$\triangle MDB\sim\triangle NDE$，因為$ND>MD$，所以$S_{\triangle MDB}<S_{\triangle NDE}$，那麼$S_{\triangle MDB}<S_{\triangle NDC}$，$S_{\triangle AMN}<S_{\triangle ABC}$，可知$\triangle AMN$面積最小。由於對稱性，三邊切點都是中點時面積最小，此時外切三角形是等邊三角形。

3. 兩個圓

分成兩種情況考慮，一是一邊與兩個圓相切，二是三邊都只與一個圓相切。（至於為什麼是兩種，請顯然。）

情況一

本來想直接建系算的，但計算太復雜，超出了我的能力范圍。（算出來大概也求不了最值）
那就故技重施，取切點為中點的情況：

很容易就能看出此時三角形為等腰直角三角形，面積$S=(6+4\sqrt{2})r^2\approx11.657r^2$。

情況二

還是一樣的方法，但計算繁瑣一些。

設底邊長為$2x$，根據勾股定理列方程：

$$\left(\sqrt{(3r)^2+x^2}+3r\right)^2+x^2=\left(2\sqrt{(3r)^2+x^2-r^2}\right)^2$$

解得$x=\sqrt{\frac{1}{2}(3\sqrt{17}-5)}r$，於是可以算出面積：

$$S=\frac{\sqrt{6\sqrt{17}-10}\cdot(\sqrt{17}+9)}{4}r^2\approx12.595r^2$$

比較

那麼就可以對比面積了，顯然第一種情況面積更小一些。於是得出結論：兩個圓的最小外切三角形是等腰直角三角形，面積最小值$S=(6+4\sqrt{2})r^2$。
雖然不能嚴格證明，但這確實是我找到的最小了。

還有一個問題是：為什麼情況一比情況二面積小？
兩種情況都是等腰三角形，可以從中間切開考慮，得到兩個直角三角形都包含了一個圓，情況二的空隙更大一些，直覺上說就是這樣（唉說了跟沒說一樣）。

提出猜想1：情況一面積始終比情況二小，且兩情況的差距會隨圓個數的增加而增加。

4. 三個圓

這裡要分3種情況考慮：

1. 類似上述情況一
2. 類似上述情況二
3. 平面六角密堆積式排列，外切等邊三角形

從直覺來看，顯然情況3是最小的，且情況1小於情況2，但我沒有什麼簡單的比較方法，那就干脆全部算出來好了（順便鍛煉計算能力）。

情況一

直接建系如圖，並設圓的半徑為1.

設$A$點坐標$(0,a)$，$B$點$(b,0)$，$AB$中點$C$坐標$(b/2,a/2)$，可得$AB$的解析式：

$$AB:y=-\frac{a}{b}x+a$$ $AB$與圓在$C$點相切時，$OC\perp AB$，由此可以算出$OC$的解析式： $$OC:y=\frac{b}{a}x+\frac{a^2-b^2}{2a}$$

根據 “$OC$過$O$點” 和 “$C$在圓$O$上” 列出方程：

$$\begin{align*} 2\cdot\frac{b}{a}+\frac{a^2-b^2}{2a}=1\\ \left(\frac{1}{2}b-2\right)^2+\left(\frac{1}{2}a-1\right)^2=1 \end{align*}$$

整理一下就出現了喜聞樂見的一元四次方程：

$$x^4-12 x^3+49 x^2-80 x+48=0$$

這、完全不會解。
沒關係，還有 Wolfram|Alpha，輕松得到答案為：

$$b=\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{3 \sqrt{183}+62}+\sqrt[3]{62-3 \sqrt{183}}+8\right)\approx5.15276$$

繼續代回式子，得到：

$$S=ab\approx18.727$$

所以$S\approx18.727r^2$

情況二

這種情況簡單許多，和一個圓時類似，設底邊為$2x$，根據勾股定理列方程（圖都懶得畫了）：

$$\left(\sqrt{(5r)^2+x^2}+5r\right)^2+x^2=\left(2\sqrt{(5r)^2+x^2-r^2}\right)^2$$

解得$x=\sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}-21\right)}r$，於是算出面積：

$$S=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{33}-21\right)} \left(\sqrt{10 \sqrt{33}+58}+10\right)r^2\approx20.382r^2$$

情況三

看起來很好算，實際上確實很好算。如果建系死算大概會比較復雜，但直接算高$CF$就會輕松很多。

首先易知$CD=r$，然後由於$\triangle OAB$是等邊三角形，$OD=\sqrt{3}r$，由於$\triangle OEF$是帶60°的直角三角形，$OF=2OE=2r$，所以$CF=3+\sqrt{3}$，容易算出三角形面積：

$$S=(6+4\sqrt{3})r^2\approx12.928r^2$$

比較

到這裡，差距就很明顯了，情況三顯著小於情況一和二，甚至與兩個圓的最小外切三角形面積相差無幾，看來這的確是一種節省空間的排列方式。因此對於較多的圓，前兩種情況可以不用考慮了，差距只會越來越大。

提出猜想2：對於三角形數個圓，最小外切三角形必然是類似情況三的等邊三角形。
可以總結出這類三角形的面積公式：
若圓的個數為$k(k+1)/2$，則可算出高為$h=1+2+(k-1)\sqrt{3}=3+(k-1)\sqrt{3}$，由此得到三角形面積$S=\sqrt{3}k^2+(6-2\sqrt{3})k+4\sqrt{3}-6$。

那麼需要特別考慮的就是非三角形數個圓的情況。

三角形數：該數目個點或等大圓在等距情況下可排列成三角形，對於相切的等大圓，即可排列成等邊三角形的現狀。

前10個三角形數為：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55

5. 四、五、六

經過以上的探究，總結出兩條經驗：

1. 若某條線段僅與一個圓相切，盡量使切點在切線段的中點
2. 盡量排列緊密，最好以平面六角密堆積式排列

接下來對四、五、六個圓的情況進行分析。為方便起見，接下來默認$r=1$。

情況一

六個圓用平面六角密堆積式排列，形成的外切三角形同時也可容納四個或五個圓：

這時候直接代公式就可以了，$k=3$：

$$\begin{aligned} S&=\sqrt{3}k^2+(6-2\sqrt{3})k+4\sqrt{3}-6\\ &=9\sqrt{3}+18-6\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\\ &=12+7\sqrt{3}\\ &\approx24.124 \end{aligned}$$

情況二

對於四個或五個圓，還有另一種面積較小的情況如圖，切點$C$為$AB$中點。

還是建系計算，思路與前述相同。
設$A(0,a)$，$B(b,0)$，可以列出方程：

$$\begin{align*} \frac{b}{a}+\frac{a^2-b^2}{2a}=3\\ \left(\frac{1}{2}b-1\right)^2+\left(\frac{1}{2}a-3\right)^2=1 \end{align*}$$

根式解很復雜，所以就直接寫近似結果了：$b\approx3.759$，$S\approx26.132>24.124$

情況一在空缺兩位的情況下，空間利用率仍比情況二高，再一次展現了平面六角密堆積式的優越性。事實上，觀察情況二的圖可知情況一等價於下層兩圓移至兩邊，可以在底不變甚至減小的情況下減小高，如此能夠減小面積就不顯奇怪了。

情況三

當然，情況一雖排列合理，但終究空缺兩位，對於四個圓，很容易發現更小的外切三角形，即圖中左下的直角三角形：

觀察圖形可只此直角三角形恰為10個圓的最小外切三角形的一半，於是可以用前述方法先求大等邊三角形的面積，除以2即為直角三角形面積：

$$\begin{aligned} S&=(\sqrt{3}n^2+(6-2\sqrt{3})n+4\sqrt{3}-6)/2\\ &=(16\sqrt{3}+24-8\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6)/2\\ &=9+6\sqrt{3}\\ &\approx19.392 \end{aligned}$$

對於像4這樣可以形成等邊三角形的一半的數，不妨稱其為半三角形數。半三角形數就是三角形數減去分割線通過的圓，再除以二。由此可以得到半三角形數的公式：

$$a=\begin{cases} n^2/4, &n\text{ is even} \\ (n^2-1)/4, &n\text{ is odd} \end{cases}$$

此時突然發現6也是半三角形數：$6=(5^2-1)/4$，於是作出6個圓的外切直角三角形：

然後用和前面一樣的方法計算面積：

$$\begin{aligned} S&=(\sqrt{3}n^2+(6-2\sqrt{3})n+4\sqrt{3}-6)/2\\ &=(25\sqrt{3}+30-10\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6)/2\\ &=12+9.5\sqrt{3}\\ &\approx28.454 \end{aligned}$$

明顯比上面的情況一大。

同時是三角形數和半三角形數的情況不多見，可通過解方程$n^2/4=k(k+1)/2$或$(n^2-1)/4=k(k+1)/2$得到。
1000以下共有如下幾組解($n$表示半三角形層數，$k$表示三角形層數，$c$表示對應圓的個數)：

$$\begin{align*} n=2,k&=1,c=1\\ n=12,k&=8,c=36\\ n=70,k&=49,c=1225\\ n=408,k&=288,c=41616 \end{align*}$$

或：

$$\begin{align*} n=5,k&=3,c=6\\ n=29,k&=20,c=210\\ n=169,k&=119,c=7140\\ n=985,k&=696,c=242556 \end{align*}$$

除去相等的情況，三角形數和半三角形數分布很不均勻。兩個三角形數之間的半三角形數分布不均，因此對於三角形數個圓，不能確定究竟是其排成的直角三角形，還是稍大於其的三角形數排成的等邊三角形面積更小。
例如，4個圓排成的直角三角形面積小於6個圓排成的等邊三角形，而9個圓排成的直角三角形面積(約39.249)大於10個圓排成的等邊三角形(約38.785).

提出猜想3：在猜想2的基礎上，對於上述半三角形數個圓(不等於某個三角形數)，最小外切三角形可能為等邊三角形的一半(帶60°的直角三角形)，面積為：

$$S=\frac{\sqrt{3}}{2}n^2+(3-\sqrt{3})n+2\sqrt{3}-3$$

也可能為稍大於其的三角形數排成的等邊三角形，面積為：

$$S=\sqrt{3}k^2+(6-2\sqrt{3})k+4\sqrt{3}-6$$

不需要考慮其他的情況。

6. What about 100？

雖然沒有得到一般的結論(甚至特殊的結論也沒有證明)，但對這個問題大致了解並提出猜想後，100個圓的情況也大致可以算出了。
100恰是半三角形數，於是根據猜想3，只需算100個圓排成的直角三角形面積和105個圓排成的等邊三角形面積，分別為：

$$S_1=\frac{\sqrt{3}}{2}n^2+(3-\sqrt{3})n+2\sqrt{3}-3=57+182\sqrt{3}\approx372.233$$ $$S_2=\sqrt{3}k^2+(6-2\sqrt{3})k+4\sqrt{3}-6=78+172\sqrt{3}\approx375.913$$

大概就可以得到最小面積$S_1=57+182\sqrt{3}\approx372.233$。

7. 不等大的情況

不等大的情況比等大的復雜很多，關鍵在於圓與圓相切的方式更多樣，需要考慮的情況多得多。需要注意的是不能太高估空隙的容納能力，本來我以為大圓相切產生的空隙足夠將小圓全部容納其內，結果發現面積為100、99、98的三個圓相切產生的空隙僅能容納面積大約為2.369的小圓，面積為100、99、98、97的四個圓相切產生的空隙也只能至多容納面積大約為16.7的圓。
對於這個問題我還完全沒有思路，還得留到以後解決。