OpAEOLUS-4.紙飛機飛行原理

紙飛機與具有持續動力的飛機差異巨大，但對其的專門研究少，本文主要依據模型飛機飛行原理略加修改，對紙飛機飛行原理進行簡要分析。

1. 空氣動力

科恩達效應

科恩達效應(Coandǎ effect)，又稱附壁效應，指流體傾向於沿壁面流動的現象。這種現象的本質原因是流體的黏性，它是機翼使氣流向下流動的根本原因。
當飛機以一個適當的迎角飛行，機翼下方氣流被向下壓，上方氣流被向下拽，於是氣流整體向下方偏轉，如圖：

基本動力

紙飛機氣動力的基本原理是牛頓第三定律。紙飛機以一定迎角飛行，由於科恩達效應，機翼迫使空氣向下流動。紙飛機給空氣一個向下的力，於是空氣會給紙飛機一個反作用力，這就是升力與阻力的主要來源。圖中$F$為合力，可分解為豎直向上的升力$L$和水平向後的阻力$D$。

氣壓分布

機翼上下氣流速度不同，因此產生壓強差，這種壓強差承擔了大部分升力，同時也是機翼渦流的形成原因。

由於機翼上方負壓，氣流在機翼前端向上偏，稱為上洗。上洗增大機翼迎角，合力與豎直方向夾角小，因此產生阻力較小。

其他動力

1. 渦動力 (見下文「影響因素」部分)
2. 寄生阻力：
   • 形狀阻力
   • 表面摩擦力
   • 干擾阻力

其中渦誘導阻力$\propto 1/V$，寄生阻力$\propto V$。因此，對於紙飛機，需要考慮渦動力，無需考慮寄生阻力。

2. 影響因素

氣面分離

當機翼迎角大到一定程度時，氣流從機翼表面分離，形成不穩定的渦流區域，不再提供升力，於是飛機失速。相同翼型，失速只與迎角有關。事實上，飛行中時刻存在小范圍的氣面分離，稱為氣泡分離，影響較小。

渦動力

由於機翼上下方壓強差，下方氣流在機翼邊緣流向上方，由此產生了旋渦。產生的渦可分為附著渦、翼尖渦和啟動渦，三種渦在機翼後方形成一個封閉渦環。
紙飛機雖質量輕，速度小，但其產生的旋渦很明顯，見Wake Turbulence From a Paper Airplane ^[8]。

渦流的影響主要在翼尖。渦流使機翼邊緣後方氣流向上偏，於是對下表面的高壓產生洩壓作用，同時對上表面的低壓產生增壓作用，致使升力減小。

翼尖受到渦流影響，氣流上洗作用減弱(也可以認為是產生了下洗作用)，有效迎角減小，減小的角稱為誘導迎角。因此合力向後偏轉，水平向後的分量增大，由此增大的阻力稱為渦誘導阻力。

此外，小展弦比的三角翼(大多數紙飛機的翼型)在高迎角工作時，左右前緣會產生前緣渦。這種前緣渦不同於翼尖渦，特點是較為穩定，可提供升力，是渦升力的主要來源，此效果對紙飛機尤為明顯。飛機設計中的渦襟翼就是通過控制前緣渦來提高氣動效率。

3. 力的計算

伯努利定律

伯努利定律，本質是是流體的機械能守恆定律，即動能+重力勢能+壓力勢能=常數。本定律適用於粘度可忽略、不可壓縮的理想流體，對於流體中某一點：
$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$$
其中，$p$為流體中該點的壓強，$v$為該點的流速，$C$為常數。
紙飛機飛行時翼面上下氣流流速不同且流速低，因此可以用伯努利定律研究。

庫塔-儒可夫斯基定理

庫塔-儒可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空氣動力學的基本定理，顯示了機翼產生的升力與流體速度、密度以及環量的關系。表達式為$L=-\rho V\Gamma$，其中$\Gamma$表示環量，即流體的速度沿著一條閉曲線的路徑積分。
該定理可計算機翼在均勻流體中的升力，但涉及高等數學，計算困難，在本研究中不多涉及。

升力與阻力系數

升力由壓力產生，易知升力$L\propto S$，由牛頓第二定律$F=ma$，得$F=constant\times m\times V/t$，又由$m/t=constant\times\rho V$，可知$L\propto\rho V^2$。
由此定義升力公式$L=1/2C_L\rho V^2$，其中$C_L$為升力系數；類似地，有阻力公式$D=1/2C_D\rho V^2$，其中$C_D$為阻力系數。
升力系數與阻力系數的最大優勢是無量綱，主要與迎角和翼型相關，一般與速度、面積等量無關。可以通過一定的實驗或流體力學分析得到一些迎角某翼型的升力和阻力系數，從而擬合出該翼型升力和阻力系數隨迎角的變化曲線，對翼型的空氣動力學性質進行全面分析。

零彎度機翼的升力系數曲線圖大致為：

可以看到升力系數先隨迎角增大而增大，達到最大值後大幅下降，這由大迎角氣面分離導致的。如果機翼彎度為正，則圖線整體向左平移；如果彎度為負，則向右平移。

表示機翼升力與阻力系數及迎角變化關系的曲線稱為極曲線：

極曲線上各點與原點連線的斜率為升阻比$L/D=C_L/C_D$。極曲線可以很好得反映升阻比，若某點與原點連線和極曲線相切，則此點對應升阻比最大。升阻比與無動力滑翔有關，良好的升阻比可提高飛機滑翔距離。

4. 參考

[1]馬丁·西蒙斯. 模型飛機空氣動力學[M]. 2007, 6
[2]How Airplanes Fly: A Physical Description of Lift. http://www.aviation-history.com/theory/lift.htm
[3]飛行原理-升力、阻力、極曲線 ​(空氣動力). https://zhuanlan.zhihu.com/p/432995968
[4]空氣動力學從入門到棄坑[4]：翼型和升力原理. https://zhuanlan.zhihu.com/p/104203952
[5]空氣動力學術語解析. https://zhuanlan.zhihu.com/p/106138927
[6]閒話翼尖渦. https://zhuanlan.zhihu.com/p/138781194
[7]庫塔-茹科夫斯基定理的各種推導姿勢. https://zhuanlan.zhihu.com/p/101175091
[8]Wake Turbulence From a Paper Airplane. https://www.youtube.com/watch?v=jYbRARW9q2s