完全搞不懂的三角函數-2

第一題 (三角恆等變換)

求證: $\tan25°\tan35°\tan85°=\tan75°$.

這題關鍵是要注意到 $25°=60°-35°=85°-60°$, 從這裡入手直接展開化簡, 就能得到

$$\begin{aligned} &\tan25°\tan(60°-25°)\tan(60°+25°)\\ =&\tan25°\cdot\frac{\tan60°-\tan25°}{1+\tan60°\tan25°}\cdot\frac{\tan60°+\tan25°}{1-\tan60°\tan25°}\\ =&\tan25°\cdot\frac{\tan^260°-\tan^225°}{1-\tan^260°\tan^225°}\\ =&\frac{\tan^325°-3\tan25°}{3\tan^225°-1}\\ \end{aligned}$$

這恰好是三倍角公式:

$$\tan3\alpha=\frac{\tan^3\alpha-3\tan\alpha}{3\tan^2\alpha-1}$$

於是可證原式 $=\tan75°$.

也可以分別考慮 $\sin25°\sin35°\sin85°$ 和 $\cos25°\cos35°\cos85°$, 這樣就可以使用 $\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$, 得到

$$\begin{aligned} &\sin25°\sin(60°-25°)\sin(60°+25°)\\ =&\sin25°(\sin^260°-\sin^225°)\\ =&-\sin^325°+\frac{3}{4}\sin25°\\ =&\frac{1}{4}\sin75°\\ \end{aligned}$$

同理可得 $\cos25°\cos35°\cos85°=1/4\cos75°$.

從此題可以得到結論:

$$4\sin\alpha\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\sin3\alpha$$ $$4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\cos3\alpha$$ $$\tan\alpha\tan\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\tan\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\tan3\alpha$$

第二題

條件: $\triangle ABC$中, $A,B,C$ 對邊分別為 $a,b,c$, $\sin A=\cos B=\tan C$.

第一問

求 $2A+C$.

題設等式給出了 $\tan C$ 的范圍 $(0,1)$, 由此可得 $C\in(0,\pi/4)$, 於是有 $A+B>3\pi/4$, 又由 $\sin A=\cos B$, 易得 $A-B=\pi/2$, 所以 $2A=2B+\pi$, $C=\pi-A-B=\pi/2-2B$, $2A+C=3\pi/2$.

第一小問還是很簡單的, 關鍵在於對 $C$ 的范圍的基本把握.

第二問

求證: $c>b>\frac{2}{5}a$.

由(1)得:

$$\begin{cases} A=B+\pi/2\\ C=\pi/2-2B\\ \end{cases}$$

分析: 若 $c>b>\frac{2}{5}a$, 則:

• 由 $c>b$ 得 $C>B$, 即 $\pi/2-2B>B$ $\Longrightarrow$ $B<\pi/6$ $\Longrightarrow$ $\sin B<1/2$.
• 由 $b>\frac{2}{5}a$ 得 $\sin B>\frac{2}{5}\sin A=\frac{2}{5}\cos B$ $\Longrightarrow$ $\tan B>\frac{2}{5}$ $\Longrightarrow$ $\sin B>\frac{2}{29}\sqrt{29}$.

由 $\cos B=\tan C$ 可得出關於 $\sin B$ 的方程:

$$\begin{align*} \cos B=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2B\right)=\frac{1}{\tan2B}=\frac{1-\tan^2B}{2\tan B}\Longrightarrow 2\sin^2B=1-\tan^2B \\ \frac{\sin^2B}{1-\sin^2B}+2\sin B-1=0\Longrightarrow -2\sin^3B+2\sin^2B+2\sin B-1=0 \end{align*}$$

令 $t=\sin B\in(0,\sqrt{2}/2)$,

$$f(t)=-2t^3+2t^2+2t-1,\enspace t\in\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

於是問題轉化為求 $f(t)=0$ 的根的范圍，那就很簡單了.

$$\begin{align*} &f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}>0\\ &f\left(\frac{2}{29}\sqrt{29}\right)=\frac{100\sqrt{29}}{841}-\frac{21}{29}<0 \end{align*}$$

顯然函數在定義域連續, 那麼根據介值定理, $f(t)=0$ 有一個根 $t_0$ 滿足 $\frac{2}{29}\sqrt{29}<t_0<\frac{1}{2}$, 即 $\frac{2}{29}\sqrt{29}<\sin B<\frac{1}{2}$, 於是得證.

(這裡本應詳細說明單調性, 以證明 $(0,\frac{2}{29}\sqrt{29})\cup(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 不存在根, 但我懶得寫了. )

感想

還是談談感想.
對於三角恆等變換的難題, 一定要多記公式, 三倍角公式是必須記住的;
還有就是要抓住特殊角和角度之間的關係, 特別是和差關係.
對於求范圍和比大小, 這次的題目又提供了一種思路, 即把三角問題轉化為函數問題, 這一點在三個角可由一個角表示時較常用, 需加注意.