完全搞不懂的三角函數-2
第一題(三角恆等變換)
求證：$\tan25°\tan35°\tan85°=\tan75°$
這題關鍵是要注意到$25°=60°-35°=85°-60°$，從這裡入手直接展開化簡，就能得到：
$$
\begin{aligned}
&\tan25°\tan(60°-25°)\tan(60°+25°)\\
=&\tan25°\cdot\frac{\tan60°-\tan25°}{1+\tan60°\tan25°}\cdot\frac{\tan60°+\tan25°}{1-\tan60°\tan25°}\\
=&\tan25°\cdot\frac{\tan^260°-\tan^225°}{1-\tan^260°\tan^225°}\\
=&\frac{\tan^325°-3\tan25°}{3\tan^225°-1}\\
\end{aligned}
$$
這恰好是三倍角公式：
$$\tan3\alpha=\frac{\tan^3\alpha-3\tan\alpha}{3\tan^2\alpha-1}$$
於是可證原式$=\tan75°$
也可以分別考慮$\sin25°\sin35°\sin85°$和$\cos25°\cos35°\cos85°$，這樣就可以使用$\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$，得到：
$$
\begin{aligned}
&\sin25°\sin(60°-25°)\sin(60°+25°)\\
=&\sin25°(\sin^260°-\sin^225°)\\
=&-\sin^325°+\frac{3}{4}\sin25°\\
=&\frac{1}{4}\sin75°\\
\end{aligned}
$$
同理可得$\cos25°\cos35°\cos85°=1/4\cos75°$
從此題可以得到結論：
$$4\sin\alpha\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\sin3\alpha$$
$$4\cos\alpha\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\cos3\alpha$$
$$\tan\alpha\tan(\frac{\pi}{3}+\alpha)\tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\tan3\alpha$$
第二題
$\triangle ABC$中，$A,B,C$對邊分別為$a,b,c$，$\sin A=\cos B=\tan C$
第一問
求$2A+C$
題設等式給出了$\tan C$的范圍$(0,1)$，由此可得$C\in(0,\pi/4)$，於是$A+B>3\pi/4$，又由$\sin A=\cos B$，易得$A-B=\pi/2$，所以$2A=2B+\pi$，$C=\pi-A-B=\pi/2-2B$，$2A+C=3\pi/2$
第一小問還是很簡單的，關鍵在於對$C$的范圍的基本把握。
第二問
求證：$c>b>\frac{2}{5}a$
由(1)得：
$$
\begin{cases}
A=B+\pi/2\\
C=\pi/2-2B\\
\end{cases}
$$
分析：若$c>b>\frac{2}{5}a$，則：
- 由$c>b$ 得 $C>B$
$\pi/2-2B>B\quad\Rightarrow\quad B<\pi/6$
$\sin B<1/2$ - 由$b>\frac{2}{5}a$ 得 $\sin B>\frac{2}{5}\sin A=\frac{2}{5}\cos B$
$\tan B>\frac{2}{5}$
$\sin B>\frac{2}{29}\sqrt{29}$
由$\cos B=\tan C$可得出關於$\sin B$的方程：
$$
\begin{align*}
\cos B=\tan(\frac{\pi}{2}-2B)=\frac{1}{\tan2B}=\frac{1-\tan^2B}{2\tan B}\Rightarrow 2\sin^2B=1-\tan^2B \\
\frac{\sin^2B}{1-\sin^2B}+2\sin B-1=0\Rightarrow-2\sin^3B+2\sin^2B+2\sin B-1=0
\end{align*}
$$
令$t=\sin B\in(0,\sqrt{2}/2)$：
$$f(t)=-2t^3+2t^2+2t-1\quad t\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$$
於是問題轉化為求$f(t)=0$的根的范圍，那就很簡單了
$$
\begin{align*}
&f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}>0\\
&f(\frac{2}{29}\sqrt{29})=\frac{100\sqrt{29}}{841}-\frac{21}{29}<0
\end{align*}
$$
顯然函數在定義域連續，那麼根據介值定理，$f(t)=0$有一個根$t_0$滿足$\frac{2}{29}\sqrt{29}<t_0<\frac{1}{2}$
即$\frac{2}{29}\sqrt{29}<\sin B<\frac{1}{2}$，於是得證。
(這裡本應詳細說明單調性，以證明$(0,\frac{2}{29}\sqrt{29})\cup(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$不存在根，但我懶得寫了)
感想
還是談談感想
對於三角恆等變換的難題，一定要多記公式，三倍角公式是必須記住的
還有就是要抓住特殊角和角度之間的關系，特別是和差關系
對於求范圍和比大小，這次的題目又提供了一種思路，即結合函數，這在三個角可由一個角表示時較常用，需要注意。