完全搞不懂的三角函数-2
第一题(三角恒等变换)
求证：$\tan25°\tan35°\tan85°=\tan75°$
这题关键是要注意到$25°=60°-35°=85°-60°$，从这里入手直接展开化简，就能得到：
$$
\begin{aligned}
&\tan25°\tan(60°-25°)\tan(60°+25°)\\
=&\tan25°\cdot\frac{\tan60°-\tan25°}{1+\tan60°\tan25°}\cdot\frac{\tan60°+\tan25°}{1-\tan60°\tan25°}\\
=&\tan25°\cdot\frac{\tan^260°-\tan^225°}{1-\tan^260°\tan^225°}\\
=&\frac{\tan^325°-3\tan25°}{3\tan^225°-1}\\
\end{aligned}
$$
这恰好是三倍角公式：
$$\tan3\alpha=\frac{\tan^3\alpha-3\tan\alpha}{3\tan^2\alpha-1}$$
于是可证原式$=\tan75°$
也可以分别考虑$\sin25°\sin35°\sin85°$和$\cos25°\cos35°\cos85°$，这样就可以使用$\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$，得到：
$$
\begin{aligned}
&\sin25°\sin(60°-25°)\sin(60°+25°)\\
=&\sin25°(\sin^260°-\sin^225°)\\
=&-\sin^325°+\frac{3}{4}\sin25°\\
=&\frac{1}{4}\sin75°\\
\end{aligned}
$$
同理可得$\cos25°\cos35°\cos85°=1/4\cos75°$
从此题可以得到结论：
$$4\sin\alpha\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\sin3\alpha$$
$$4\cos\alpha\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\cos3\alpha$$
$$\tan\alpha\tan(\frac{\pi}{3}+\alpha)\tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\tan3\alpha$$
第二题
$\triangle ABC$中，$A,B,C$对边分别为$a,b,c$，$\sin A=\cos B=\tan C$
第一问
求$2A+C$
题设等式给出了$\tan C$的范围$(0,1)$，由此可得$C\in(0,\pi/4)$，于是$A+B>3\pi/4$，又由$\sin A=\cos B$，易得$A-B=\pi/2$，所以$2A=2B+\pi$，$C=\pi-A-B=\pi/2-2B$，$2A+C=3\pi/2$
第一小问还是很简单的，关键在于对$C$的范围的基本把握。
第二问
求证：$c>b>\frac{2}{5}a$
由(1)得：
$$
\begin{cases}
A=B+\pi/2\\
C=\pi/2-2B\\
\end{cases}
$$
分析：若$c>b>\frac{2}{5}a$，则：
- 由$c>b$ 得 $C>B$
$\pi/2-2B>B\quad\Rightarrow\quad B<\pi/6$
$\sin B<1/2$ - 由$b>\frac{2}{5}a$ 得 $\sin B>\frac{2}{5}\sin A=\frac{2}{5}\cos B$
$\tan B>\frac{2}{5}$
$\sin B>\frac{2}{29}\sqrt{29}$
由$\cos B=\tan C$可得出关于$\sin B$的方程：
$$
\begin{align*}
\cos B=\tan(\frac{\pi}{2}-2B)=\frac{1}{\tan2B}=\frac{1-\tan^2B}{2\tan B}\Rightarrow 2\sin^2B=1-\tan^2B \\
\frac{\sin^2B}{1-\sin^2B}+2\sin B-1=0\Rightarrow-2\sin^3B+2\sin^2B+2\sin B-1=0
\end{align*}
$$
令$t=\sin B\in(0,\sqrt{2}/2)$：
$$f(t)=-2t^3+2t^2+2t-1\quad t\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$$
于是问题转化为求$f(t)=0$的根的范围，那就很简单了
$$
\begin{align*}
&f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}>0\\
&f(\frac{2}{29}\sqrt{29})=\frac{100\sqrt{29}}{841}-\frac{21}{29}<0
\end{align*}
$$
显然函数在定义域连续，那么根据介值定理，$f(t)=0$有一个根$t_0$满足$\frac{2}{29}\sqrt{29}<t_0<\frac{1}{2}$
即$\frac{2}{29}\sqrt{29}<\sin B<\frac{1}{2}$，于是得证。
(这里本应详细说明单调性，以证明$(0,\frac{2}{29}\sqrt{29})\cup(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$不存在根，但我懒得写了)
感想
还是谈谈感想
对于三角恒等变换的难题，一定要多记公式，三倍角公式是必须记住的
还有就是要抓住特殊角和角度之间的关系，特别是和差关系
对于求范围和比大小，这次的题目又提供了一种思路，即结合函数，这在三个角可由一个角表示时较常用，需要注意。