完全搞不懂的三角函數-1

為了拯救我即將崩潰的數學成績，我開始惡補三角函數，在此記錄一些有意思的三角函數題

第一題

三角形內角$A,B,C$，求證：
$$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$$
$$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$

這題其實很簡單，只要注意到$\sin C=\sin(A+B)$，$\cos C=-\cos(A+B)$，再用和差化積和二倍角公式就可以了：
$$
\begin{aligned}
\sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\
&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\\
&=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A+B}{2}+\cos\frac{A-B}{2})\\
&=2\cos\frac{C}{2}(2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2})\\
&=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\cos A+\cos B+\cos C&=\cos A+\cos B-\cos(A+B)\\
&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}-2\cos^2\frac{A+B}{2}+1\\
&=2\cos\frac{A+B}{2}(\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2})+1\\
&=1+2\sin\frac{C}{2}(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2})\\
&=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
\end{aligned}
$$
關鍵在於發現三個角的關系從而消掉一個元，這也是多數以三角形內角為背景的題目的基本思路。

第二題

銳角三角形內角$A,B,C$，求證$\sin A+\sin B+\sin C>2$

這題需要利用銳角三角形的性質並使用放縮法。注意到：

• 銳角三角形中，$\sin A>\cos B$
• $x\in(0,1)\Rightarrow x^2<x$
  將$\sin C$換成$\sin(A+B)$，得：
  $$
  \begin{aligned}
  \sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\
  &=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\sin B\cos A\\
  &>\sin^2A+\sin^2B+\cos^2B+\cos^2A\\
  &=(\sin^2A+\cos^2A)+(\sin^2B+\cos^2B)\\
  &=2
  \end{aligned}
  $$

第三題

$\triangle ABC$中，$A,B,C$對邊分別為$a,b,c$，$c^2=\sqrt2ab$，求證$C-A<\frac{\pi}{6}$

這題第一眼看感覺一點思路都沒有，$C-A$看起來很難與條件產生關聯。關鍵在於等式兩邊同時減去一個平方項就可由平方差公式得到一個較好的形式：
$$\sin^2C=\sqrt2\sin A\sin B$$
$$
\begin{aligned}
\sqrt2\sin A\sin B-\sin^2A&=\sin^2C-\sin^2A\\
&=(\sin A+\sin C)(\sin C-\sin A)\\
&=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}\cdot2\sin\frac{A-C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\\
&=\sin B\sin(C-A)\\
\end{aligned}
$$
到這裡題目大體清楚了，但接下來還是不好處理。此時便需要使用不等式的知識：
$$xy\le\frac{x^2+y^2}{2}$$
$$\sqrt2\sin A\sin B\le\frac{(\sqrt2\sin A)^2+\sin^2B}{2}=\sin^2A+\frac{1}{2}\sin^2B$$
於是：
$$
\begin{aligned}
\sin B\sin(C-A)&=\sqrt2\sin A\sin B-\sin^2A\\
&\le\sin^2A+\frac{1}{2}\sin^2B-\sin^2A\\
&=\frac{1}{2}\sin^2B\\
\end{aligned}
$$
$$\sin(C-A)\le\frac{1}{2}\sin B\le\frac{1}{2}$$
這樣就基本結束啦。但注意還須說明不能取等：
當$\sin B=1$時，$\sin A=\sqrt2/2$，則$\sin C=\sqrt{\sqrt2\sin A\sin B}=1$，顯然不成立。

像這樣的難題，不可能通過隨便推導解決，必須有目的性地構造，同時也要結合不等式的知識。而$\sin^2C-\sin^2A=\sin B\sin(C-A)$是一個常用結論，須記住。

第四題

三角形內角$A,B,C$，$\sin A=2(\sin C-\sin B)$，求$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}$的最小值
這題實在太過離譜，只能開始抄答案了

第一種解法

顯然第一步是要通分的：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{\sin C-\sin B}{\sin B\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{\sin A}{2\sin B\sin C}$$
接下來重點處理右邊一項，如果乘上一個$\sin A$，那上下就齊次了，於是可以化成邊，相當於求$a^2/2bc$。為什麼這樣做呢？這是因為題目中$a=2(c-b)$能與余弦定理聯立，得到$\cos A$的關系式，也就把整個式子都往$A$靠了。
$$
\begin{cases}
a^2=[2(c-b)]^2=4b^2+4c^2-8bc\\
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\
\end{cases}
$$
整理得：
$$a^2-3a^2=-8bc+8bc\cos A$$
$$\frac{a^2}{2bc}=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}\cos A$$
代回原式得到：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}\cos A=\frac{7-4\cos A}{3\sin A}$$
得到這個式子後，就可以果斷使用輔助角公式了：
$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\gamma)\le\sqrt{a^2+b^2}$$
$$x\sin\theta+4\cos\theta\le\sqrt{x^2+4^2}=7$$
$$7-4\cos\theta\ge\sqrt{7^2-4^2}\sin A$$
問題就迎刃而解了：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}\ge\frac{\sqrt{33}\sin A}{3\sin A}=\frac{\sqrt{33}}{3}$$

第二種解法(海倫公式)

直接從邊入手：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=2R(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$$
$$S_\triangle=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}$$
$$2R=\frac{abc}{2S_\triangle}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
代回原式得：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{bc+ac-ab}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
然後配合$a=2(c-b)$也能得到結果，但我懶得算了。

順便一提，我在得出這個答案後很不放心，就用Mathematica算了一下，結果應該是對的，大概在$c=1.7b$時取到。

感想

三角函數好難啊~~~
感覺難題都得構造，必須從全局出發整體分析，而不是走一步算一步的隨意推導。
齊次的概念很重要，推導時應盡量往齊次式去。
另外一些重要的等式、不等式也必須記作，當然最重要的還是計算能力，計算能力強直接現推不是問題。