完全搞不懂的三角函数-1

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与三角函数殊死搏斗的第一周

为了拯救我即将崩溃的数学成绩，我开始恶补三角函数，在此记录一些有意思的三角函数题

第一题

三角形内角$A,B,C$，求证：
$$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$$
$$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$

这题其实很简单，只要注意到$\sin C=\sin(A+B)$，$\cos C=-\cos(A+B)$，再用和差化积和二倍角公式就可以了：
$$
\begin{aligned}
\sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\
&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\\
&=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A+B}{2}+\cos\frac{A-B}{2})\\
&=2\cos\frac{C}{2}(2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2})\\
&=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\cos A+\cos B+\cos C&=\cos A+\cos B-\cos(A+B)\\
&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}-2\cos^2\frac{A+B}{2}+1\\
&=2\cos\frac{A+B}{2}(\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2})+1\\
&=1+2\sin\frac{C}{2}(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2})\\
&=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
\end{aligned}
$$
关键在于发现三个角的关系从而消掉一个元，这也是多数以三角形内角为背景的题目的基本思路。

第二题

锐角三角形内角$A,B,C$，求证$\sin A+\sin B+\sin C>2$

这题需要利用锐角三角形的性质并使用放缩法。注意到：

  • 锐角三角形中，$\sin A>\cos B$
  • $x\in(0,1)\Rightarrow x^2<x$
    将$\sin C$换成$\sin(A+B)$，得：
    $$
    \begin{aligned}
    \sin A+\sin B+\sin C&=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\
    &=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\sin B\cos A\\
    &>\sin^2A+\sin^2B+\cos^2B+\cos^2A\\
    &=(\sin^2A+\cos^2A)+(\sin^2B+\cos^2B)\\
    &=2
    \end{aligned}
    $$

第三题

$\triangle ABC$中，$A,B,C$对边分别为$a,b,c$，$c^2=\sqrt2ab$，求证$C-A<\frac{\pi}{6}$

这题第一眼看感觉一点思路都没有，$C-A$看起来很难与条件产生关联。关键在于等式两边同时减去一个平方项就可由平方差公式得到一个较好的形式：
$$\sin^2C=\sqrt2\sin A\sin B$$
$$
\begin{aligned}
\sqrt2\sin A\sin B-\sin^2A&=\sin^2C-\sin^2A\\
&=(\sin A+\sin C)(\sin C-\sin A)\\
&=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}\cdot2\sin\frac{A-C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\\
&=\sin B\sin(C-A)\\
\end{aligned}
$$
到这里题目大体清楚了，但接下来还是不好处理。此时便需要使用不等式的知识：
$$xy\le\frac{x^2+y^2}{2}$$
$$\sqrt2\sin A\sin B\le\frac{(\sqrt2\sin A)^2+\sin^2B}{2}=\sin^2A+\frac{1}{2}\sin^2B$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\sin B\sin(C-A)&=\sqrt2\sin A\sin B-\sin^2A\\
&\le\sin^2A+\frac{1}{2}\sin^2B-\sin^2A\\
&=\frac{1}{2}\sin^2B\\
\end{aligned}
$$
$$\sin(C-A)\le\frac{1}{2}\sin B\le\frac{1}{2}$$
这样就基本结束啦。但注意还须说明不能取等：
当$\sin B=1$时，$\sin A=\sqrt2/2$，则$\sin C=\sqrt{\sqrt2\sin A\sin B}=1$，显然不成立。

像这样的难题，不可能通过随便推导解决，必须有目的性地构造，同时也要结合不等式的知识。而$\sin^2C-\sin^2A=\sin B\sin(C-A)$是一个常用结论，须记住。

第四题

三角形内角$A,B,C$，$\sin A=2(\sin C-\sin B)$，求$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}$的最小值
这题实在太过离谱，只能开始抄答案了

第一种解法

显然第一步是要通分的：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{\sin C-\sin B}{\sin B\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{\sin A}{2\sin B\sin C}$$
接下来重点处理右边一项，如果乘上一个$\sin A$，那上下就齐次了，于是可以化成边，相当于求$a^2/2bc$。为什么这样做呢？这是因为题目中$a=2(c-b)$能与余弦定理联立，得到$\cos A$的关系式，也就把整个式子都往$A$靠了。
$$
\begin{cases}
a^2=[2(c-b)]^2=4b^2+4c^2-8bc\\
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\
\end{cases}
$$
整理得：
$$a^2-3a^2=-8bc+8bc\cos A$$
$$\frac{a^2}{2bc}=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}\cos A$$
代回原式得到：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sin A}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}\cos A=\frac{7-4\cos A}{3\sin A}$$
得到这个式子后，就可以果断使用辅助角公式了：
$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\gamma)\le\sqrt{a^2+b^2}$$
$$x\sin\theta+4\cos\theta\le\sqrt{x^2+4^2}=7$$
$$7-4\cos\theta\ge\sqrt{7^2-4^2}\sin A$$
问题就迎刃而解了：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}\ge\frac{\sqrt{33}\sin A}{3\sin A}=\frac{\sqrt{33}}{3}$$

第二种解法(海伦公式)

直接从边入手：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=2R(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$$
$$S_\triangle=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}$$
$$2R=\frac{abc}{2S_\triangle}=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
代回原式得：
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}-\frac{1}{\sin C}=\frac{bc+ac-ab}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
然后配合$a=2(c-b)$也能得到结果，但我懒得算了。

顺便一提，我在得出这个答案后很不放心，就用Mathematica算了一下，结果应该是对的，大概在$c=1.7b$时取到。

感想

三角函数好难啊~~~
感觉难题都得构造，必须从全局出发整体分析，而不是走一步算一步的随意推导。
齐次的概念很重要，推导时应尽量往齐次式去。
另外一些重要的等式、不等式也必须记作，当然最重要的还是计算能力，计算能力强直接现推不是问题。