群論學習筆記-3.子群

定義

$G$ 是一個群, 若 $G$ 的一個子群 $H$ 對 $G$ 的運算構成一個群, 則稱 $H$ 是 $G$ 的一個子群, 若 $H\not=G$, 則 $H$ 是 $G$ 的一個真子群.

用 $H\le G$ 表示 $H$ 是 $G$ 的子群, $H<G$ 表示 $H$ 是 $G$ 的真子群.
任何群 $G$ 都有兩個明顯的子群:

• 由單位元構成的子群 $\lbrace e\rbrace$, 稱為 $G$ 的單位子群;
• 群 $G$ 本身, 稱為 $G$ 的平凡子群.

其他子群 (若存在) 稱為 $G$ 的非平凡子群.

例如:

• 加法群 $\mathbb{C}>\mathbb{R}>\mathbb{Q}>\mathbb{Z}$;
• 乘法群 $\mathbb{C}^{\ast}>\mathbb{R}^{\ast}>\mathbb{Q}^{\ast}$;
• $n$ 元交錯群 $A_n$ 是 $n$ 元對稱群 $S_n$ 的子群;
• 任意 $n$ 元置換群都是 $n$ 元對稱群的子群.

判定條件

$H$ 是群 $G$ 的非空子集, $H$ 是 $G$ 的子群的充要條件是

• 如果 $a,b\in H$, 則 $ab\in H$,
• 如果 $a\in H$, 則 $a^{-1}\in H$.

以上兩個條件可以綜合為一條:

• 如果 $a,b\in H$, 則 $ab^{-1}\in H$.

證明: 令 $b=a$, 則 $aa^{-1}=e\in H$, 所以對 $b\in H$, $eb^{-1}=b^{-1}\in H$, 即滿足上述條件(1), 可得 $b^{-1}\in H$, 因此 $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$, 滿足上述條件(2).

$H$ 是群 $G$ 的有限非空子集, $H$ 是 $G$ 的子群的充要條件是 $H$ 對 $G$ 的運算封閉, 即:

• 如果 $a,b\in H$, 則 $ab\in H$.

這個條件去掉了基本條件中的條件(2). 事實上, 由於 $H$ 是有限的, 必存在自然數 $l$, $m$ 使得 $a^l=a^m$ 且 $l>m+1$, 於是 $l-m-1$ 是正整數, 從而 $a^{-1}=a^{l-m-1}\in H$, 由此就推出了基本條件中的條件(2).

一些例子

整數加法群 $\mathbb{Z}$ 中任意一個元素 $n$ 的一切倍數構成的集合記作 $n\mathbb{Z}$, 它是 $\mathbb{Z}$ 的子群:

$$n\mathbb{Z}=\lbrace kn : k\in\mathbb{Z}\rbrace$$ $a$ 是群 $G$ 的元素, $\langle a\rangle$ 表示 $a$ 的所有方冪構成的集合. 顯然, $\langle a\rangle$ 是 $G$ 的子群.

稱 $\langle a\rangle$ 為 $G$ 的由 $a$ 生成的循環子群, $a$稱為它的生成元, $\langle a\rangle$ 的階等於 $a$ 的階.

$Z(G)$ 表示群 $G$ 中與所有元素都可交換的元素: $Z(G)=\lbrace a : ax=xa,x\in G\rbrace$. 顯然 $Z(G)$ 是群 $G$ 的子群. $Z(G)$ 稱為群 $G$ 的中心, $Z(G)$ 的元素稱為群 $G$ 的中心元素. 若群 $G$ 的中心是單位子群, 則群 $G$ 是無中心的; 群 $G$ 是交換群的充要條件是 $Z(G)=G$.

設 $H_1,H_2$ 是 $G$ 的兩個子群, 則 $H_1,H_2$ 的交 $H_1\cap H_2$ 是 $G$ 的子群.