群论学习笔记-3.子群

定义

$G$是一个群，若$G$的一个子群$H$对$G$的运算构成一个群，则称$H$是$G$的一个子群，若$H\not=G$，则$H$是$G$的一个真子群。
用$H\le G$表示$H$是$G$的子群，$H<G$表示$H$是$G$的真子群。
任何群$G$都有两个明显的子群：

• 由单位元构成的子群$\{e\}$，称为$G$的单位子群
• 群$G$本身，称为$G$的平凡子群

其他子群(若存在)称为$G$的非平凡子群。

例如：

• 加法群 $C>R>Q>Z$
• 乘法群 $C^*>R^*>Q^*$
• $n$元交错群$A_n$是$n$元对称群$S_n$的子群
• 任意$n$元置换群都是$n$元对称群的子群

判定条件

基本判定条件

$H$是群$G$的非空子集，$H$是$G$的子群的充要条件是：

• 如果$a,b\in H$，则$ab\in H$
• 如果$a\in H$，则$a^{-1}\in H$

以上两个条件可以综合为一条：

• 如果$a,b\in H$，则$ab^{-1}\in H$

证明：令$b=a$，则$aa^{-1}=e\in H$，所以对$b\in H$，$eb^{-1}=b^{-1}\in H$，即满足上述条件一，可得$b^{-1}\in H$，因此$a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$，满足上述条件二。

有限子群判定条件

$H$是群$G$的有限非空子集，$H$是$G$的子群的充要条件是$H$对$G$的运算封闭，即：

• 如果$a,b\in H$，则$ab\in H$

这个条件去掉了基本条件中的条件二。事实上，由于$H$是有限的，必存在自然数$l,m$使$a^l=a^m$且$l>m+1$，于是$l-m-1$是正整数，则$a^{l-m-1}=a^{-1}\in H$，由此就推出了基本条件中的条件二。

一些例子

整数加法群的$Z$中任意一个元素$n$的一切倍数构成的集合记作$nZ$，是$Z$的子群：
$$nZ=\{kn\mid k=0,\pm1,\pm2,\cdots\}$$

$a$是群$G$的元素，$\langle a\rangle$表示$a$的所有方幂构成的集合。显然，$\langle a\rangle$是$G$的子群：
称$\langle a\rangle$为$G$的由$a$生成的循环子群，$a$称为它的生成元，$\langle a\rangle$的阶等于$a$的阶。

$Z(G)$表示群$G$中与所有元素都可交换的元素：$Z(G)=\{a\mid ax=xa,x\in G\}$。显然$Z(G)$是群$G$的子群。
$Z(G)$称为群$G$的中心，$Z(G)$的元素称为群$G$的中心元素。若群$G$的中心是单位子群，则群$G$是无中心的；群$G$是交换群的充要条件是$Z(G)=G$

设$H_1,H_2$是$G$的两个子群，则$H_1,H_2$的交$H_1\cap H_2$是$G$的子群。