$e$的多个表达式推导
最近在读小平邦彦先生的《微积分入门》，感觉作为入门书难度有些太高。两周下来终于(大概)看完了实数和函数的基础部分。书中关于自然底数$e$的几个表达式的推导很有意思，于是写本篇记录一些推导过程。
级数表达式
定理(1)：如果以级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的项的绝对值作为项的级数$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$收敛，则原级数收敛。
证明：设$s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$，$\sigma_n=\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert$，则：
$$\vert s_n-s_m\vert=\vert\sum_{k=m+1}^n a_k\vert\le\sum_{k=m+1}^n\vert a_k\vert=\vert\sigma_n-\sigma_m\vert\quad (m<n)$$
根据Cauchy判别法，若{$\sigma_n$}收敛，则{$s_n$}也收敛。
当$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$收敛时，称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛。
定理(2)：已知收敛级数$\sum_{n=1}^{\infty}r_n,r_n>0$，若存在自然数$m$使$n\ge m$时$\vert a_n\vert\le r_n$成立，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛。
证明：设$n>m$，则：
$$\sum_{k=1}^{n}\vert a_k\vert\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{k=m}^{n} r_k\le\sum_{k=1}^{m-1}\vert a_k\vert+\sum_{n=1}^{\infty} r_n<+\infty$$
所以$\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<+\infty$
幂级数：形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数
考虑幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$，其中$x$为任意实数。设$m$为$m\ge2\vert x\vert$的自然数，则对$n\ge m$：
$$\frac{\vert x\vert^n}{n!}=\frac{\vert x\vert^m}{m!}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+1}\cdot\frac{\vert x\vert}{m+2}\cdots\frac{\vert x\vert}{n}\le\frac{2^m\vert x\vert^m}{m!}(\frac{1}{2})^n$$
设$M=2^m\vert x\vert^m/m!$，则：
$$\sum_{n=0}^{\infty}M(\frac{1}{2})^n=2M<+\infty$$
根据定理(2)，$\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$绝对收敛。
常使用收敛性已知的标准级数，如等比级数$\sum_{n=1}^{\infty}ar^n,0<r<1$，与级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$进行比较，证明其收敛性
特别地，当$x=1$时，上述级数和用$e$表示：
$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\approx2.71828\cdots$$
极限表达式
$e$通常定义为极限$\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$，这与上述的级数表达式相等，但显然这种表达式收敛更慢。
证明$e=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$：
设$e_n=(1+1/n)^n$，则根据二项式定理：
$$e_n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$
设$a_{n,k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}$，则：
$$e_n=1+\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}$$
$$a_{n,k}=\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})$$
$$a_{n,k}<a_{n+1,k}<\frac{1}{k!}$$
所以：
$$e_n<e_{n+1}<1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$$
{$e_n$}是单调递增数列且$\lim_{n\to\infty}e_n\le e$
因为$\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=1/k!$，所以对任意自然数$m$：
$$\lim_{n\to\infty}e_n\ge\lim_{n\to\infty}(1+\sum_{k=1}^{m}a_{n,k})=1+\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k!}=e$$
所以：
$$\lim_{n\to\infty}e_n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$
极限的推广
将上述极限中的自然数$n$换为实数$t$：
$$e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$$
证明：取满足$n\le t<n+1$的自然数$n$，则：
$$(1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{t})^t<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$$
当$t\to+\infty$时，$n\to\infty$，且：
$$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})=e$$
$$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1})=e$$
所以$e=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^t$
将$s=t-1$代入原式可得：
$$\lim_{t\to+\infty}(1-\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{s\to+\infty}(1+\frac{1}{s})^s=e$$
对于$x>0$，令$s=tx$，则：
$$e^x=\lim_{t\to+\infty}(1+\frac{1}{t})^{tx}=\lim_{s\to+\infty}(1+\frac{x}{s})^s=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$$
对于$x<0$，令$y=-x,s=ty$，则：
$$e^x=\lim_{t\to+\infty}(1-\frac{1}{t})^{-tx}=\lim_{s\to+\infty}(1-\frac{y}{s})^s=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$$
所以$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$