群论学习笔记-1.群的概念

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对群的初步认识

群是代数的结构，也是数学中最早被认识和研究的结构，并且这个“群”的结构在“在十九世纪逐步征服了数学这门科学”。(皮亚杰《结构主义》)

本学习笔记记录我自学群论(主要是有限群论)的一些思考与总结。

主要参考内森·卡特《群论彩图版》和王萼芳《有限群论基础》

直观理解

一言以蔽之，群论是研究对称(Symmetry)的理论，但究竟什么是”对称”?

翻转开关

现在我们有两个开关，每个开关有开合两种状态。可以看到这两个开关的组合共有4种状态，对其有2种基本操作，即”翻转开关1”和”翻转开关2”，每一种状态都可由基本操作的组合得到。

翻转长方形

一张长方形纸片，对其进行“竖直翻转”和“水平翻转”操作：

可以看到这种操作与翻转开关很相似，每次操作将对象变换为另一种状态，但其在某种意义上不变。

对称与群

上面的两种操作可抽象为等价的作用，两种操作表示同一个群。这些作用(Action)即为对称(Symmetry)，而这些作用的集合就是一个群。
事实上，对称(Symmetry)就是对某个数学对象的(可逆)变换，可以理解为映射$\phi : X\to X$ ($X$映射到本身意味着这个对象本身是不变的)。因而，群的研究对象可以看作对称，也可以看作一种作用。

一些给定的作用的系统或集合就是一个群，这些作用满足如下性质：

  • 每个作用都是可逆的
  • 每个作用都是确定性的
  • 任何连续作用的序列仍是一个作用
  • “什么也不做”也是一个作用

一个群可以看作作用的集合，也可看作定义了某种作用的状态的集合。

最基本的作用称为生成元(Generators)，生成元的集合为生成集合，一般表示为$S$，$S$是最小的使群中所有元素都可表示为$S$中元素乘积的子集(子群)。

特别地，若群中任意两个连续作用交换后结果相同，此群为交换群(阿贝尔群)。

凯莱图

凯莱图(Cayley graph)是群的可视化工具，将上面的作用图简化，即可得到这个群的凯莱图：

这个群就是Klein四元群$V_4$
图中不同颜色的边表示不同生成元，若某生成元$s=s^{-1}$，该生成元用无向边表示，否则用有向箭头表示。

由群作用的性质，可以得到凯莱图主要的一些性质：

  • 连通性(Connectedness)：图是连通的
  • 同质性(Homogeneity)：对任意顶点对$x,y$，仅有一种着色图同构将$x$映射到$y$
    这点是说，任何图论陈述从$x$顶点出发为真，则从$y$顶点出发亦为真，保证了群作用关系的一致性(例如在$S_3$中，任意顶点出发$f\cdot r\cdot f=r^{-1}$恒成立)
  • 正则性(Regularity)：对任意颜色$s\in S$($S$即生成集合)，有一条$s$-边指向顶点$x$，一条$s$-边从顶点$x$发出，若$S$中有$k$个元素，则每个顶点都有$k$条边指入，$k$条边指出

(From Cayley graphs and the geometry of groups by Terence Tao)

代数定义

定义

设$G$是一个非空集合, 在$G$中定义了一种代数运算, 称为“乘法”，记作“$\cdot$”.
若$G$对这种运算满足如下条件：

  • 封闭性：$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$
  • 结合律：$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • 单位元的存在：存在$e$使$e\cdot a=a\cdot e=a$
  • 逆元的存在：对任意$a$, 存在$a^{-1}$使$a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e$

则$G$称为一个群。

若群$G$还满足交换律，那么$G$就称作一个交换群或阿贝尔群，交换群的运算可用加法表示，记作“+”.
此时，该运算满足：

  • 封闭性：$\forall a,b\in G,a+b\in G$
  • 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
  • 零元素的存在：存在元素$0$使$0+a=a+0=a$
  • 负元素的存在：对任意$a$, 存在$-a$使$(-a)+a=a+(-a)=0$
  • 交换律：对任意两个元素$a,b$, $a+b=b+a$

简单性质

  • 单位元唯一
  • 每个元素只有一个逆元素, $(a^{-1})^{-1}=a$
  • 消去律成立：若$ab=ac$, 则$b=c$; 若$ba=ca$, 则$b=c$
  • 指数律成立：$a^m\cdot a^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn}\quad(m,n\in \mathbb{Z})$
  • 若$ab=ba,(ab)^n=a^nb^n\quad(n\in\mathbb{Z})$
  • 对任意元素$a,b$, $ax=b$有唯一解

群的阶

如果群$G$包含的元素个数有限，则称$G$为有限群，否则称$G$为无限群。
例如，Klein四元群是有限群，$\mathbb{Z}$上的加法群是无限群。

有限群$G$所包含的元素个数称为$G$的阶，记作$|G|$。设$a$是$G$中一个元素，若存在正整数$k$使$a^k=e$，则$a$为有限阶元素，满足$a^k=e$的最小正整数$k$为$a$的阶。单位元是唯一的1阶元素，有限群的所有元素都为有限阶元素。
例如，Klein四元群是4阶群(阶数最小的非循环群)，除单位元外所有元素都是2阶的。

若$a$是$G$的$k$阶元素，$a^l=a^m\to k\mid l-m$
若$a$是$G$的无限阶元素，$a^l=a^m\to l=m$