OpAEOLUS-2.數學模型

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OperationAEOLUS-分析論文中的數學模型

分析已有研究對紙飛機的數學建模，以及吐槽

1. 簡單受力分析

如圖, 可得[1][2]:

Fv=Fsin⁡θF_v=F\sin\theta FL=Fvcos⁡θ=Fsin⁡θ⋅cos⁡θ=12Fsin⁡2θF_L=F_v\cos\theta=F\sin\theta\cdot\cos\theta=\frac{1}{2}F\sin2\theta FD=Fvsin⁡θ=Fsin⁡θ⋅sin⁡θ=Fsin⁡2θF_D=F_v\sin\theta=F\sin\theta\cdot\sin\theta=F\sin^2\theta

可知當θ=45°\theta=45°時FLF_L取到最大值，有文獻直接由此得出拋射角為45°最佳，實則不可，紙飛機方向時刻發生變化，而這種分析僅針對瞬時，只能作為簡單參考。

2. 簡單軌跡方程

對紙飛機豎直平面中位置分析, 可得[3]:

{x(t)=vt⋅cos⁡θy(t)=vt⋅sin⁡θ−gt22 \begin{cases} x(t)=vt\cdot\cos\theta\\ y(t)=vt\cdot\sin\theta-\frac{gt^2}{2} \end{cases}

可得紙飛機軌跡方程為:

y=x⋅tan⁡θ−x2g2v2cos⁡2θy=x\cdot\tan\theta-\frac{x^2g}{2v^2\cos^2\theta}

求導得:

y′=tan⁡θ−xgv2cos⁡2θy'=\tan\theta-\frac{xg}{v^2\cos^2\theta}

當v′=0v'=0時, x=v22gsin⁡2θx=\frac{v^2}{2g}\sin^2\theta, 當θ=45°\theta=45°時, xmax=v22gx_{max}=\frac{v^2}{2g}, 由此得最佳拋射角為45°.

這樣的推導邏輯上沒有問題，但考慮因素太少，把紙飛機飛行理想化為簡單拋體運動，結果誤差極大。對於紙飛機這種質量、初速度小的飛行體，考慮空氣升阻力是必要的。

3. 較復雜的數學模型

上升階段y方向:

G+FD⋅sin⁡θ−FL⋅cos⁡θ=ma1yG+F_D\cdot\sin\theta-F_L\cdot\cos\theta=ma_{1y} v0y=v0⋅sin⁡θv_{0y}=v_0\cdot\sin\theta v1y=v0y−∫0t1a1y⋅tdtv_{1y}=v_{0y}-\int_{0}^{t_1} a_{1y}\cdot tdt h=h0+∫0t1v1y⋅tdth=h_0+\int_{0}^{t_1} v_{1y}\cdot tdt

下降階段y方向:

G−FD⋅sin⁡β−FL⋅cos⁡β=ma2yG-F_D\cdot\sin\beta-F_L\cdot\cos\beta=ma_{2y} v2y=∫0t2a2y⋅tdtv_{2y}=\int_{0}^{t_2} a_{2y}\cdot tdt h=∫0t2v2y⋅tdth=\int_{0}^{t_2} v_{2y}\cdot tdt

上升階段x方向:

FD⋅cos⁡θ+FL⋅sin⁡θ=ma1xF_D\cdot\cos\theta+F_L\cdot\sin\theta=ma_{1x} v0x=v0⋅cos⁡θv_{0x}=v_0\cdot\cos\theta v1x=v0x−∫0t1a1x⋅tdtv_{1x}=v_{0x}-\int_{0}^{t_1} a_{1x}\cdot tdt s1=∫0t1v1x⋅tdts_1=\int_{0}^{t_1} v_{1x}\cdot tdt

下降階段x方向:

FL⋅sin⁡β−FD⋅cos⁡β=ma2xF_L\cdot\sin\beta-F_D\cdot\cos\beta=ma_{2x} v2x=∫0t2a2x⋅tdtv_{2x}=\int_{0}^{t_2} a_{2x}\cdot tdt s2=∫0t2v2x⋅tdts_2=\int_{0}^{t_2} v_{2x}\cdot tdt

最終得到s=s1+s2s=s_1+s_2. [1] (部分過程有修改)
同時，分析過程可得軌跡大約是:

與現實情況基本符合

此模型考慮因素較多，同時也較好理解，但未知變量多，且多次積分，難以計算。本次研究將主要參考此模型進行修改，得出更好的數學模型。

4. 更復雜的數學模型

這是關注留空時間的數學模型[4]，然而我看不懂。
只能盡可能理解一下

對於初速度:

vx=v⋅cos⁡α,vy=v⋅sin⁡αv_x=v\cdot\cos\alpha,\quad v_y=v\cdot\sin\alpha

設上升到最大高度過程中水平與豎直方向分速度分別為vx2,vy2v_{x2},v_{y2}, 則這一過程中水平與豎直方向分速度分別為:

∫(vx2−v0cos⁡α)dt,∫(vy2−v0sin⁡α)dt\int(v_{x2}-v_0\cos\alpha)dt,\quad\int(v_{y2}-v_0\sin\alpha)dt

對於升力有:

FL=CL⋅12ρV2S=[CL0+∂CL∂αα]12ρV2SF_L=C_L\cdot\frac{1}{2}\rho V^2S=[C_{L0}+\frac{\partial C_L}{\partial\alpha}\alpha]\frac{1}{2}\rho V^2S

對於阻力有:

FD=CD⋅12ρV2S=[CD0+εCL2]12ρV2SF_D=C_D\cdot\frac{1}{2}\rho V^2S=[C_{D0}+\varepsilon C_L^2]\frac{1}{2}\rho V^2S

(偏微分+流體力學, 已經超越我的理解極限了)
得到推進力方程:

{Fx=(CTcos⁡θ+Cx)12ρ(Vx2+Vz2)SFz=(−CTsin⁡θ+Cz)12ρ(Vx2+Vz2)S+mg0 \begin{cases} F_x=(C_T\cos\theta+C_x)\frac{1}{2}\rho(V_x^2+V_z^2)S\\ F_z=(-C_T\sin\theta+C_z)\frac{1}{2}\rho(V_x^2+V_z^2)S+mg_0 \end{cases}

(/ﾟДﾟ)/ CTC_T是什麼???
如果四種力相互抵消，留空時間會更長:

s1˙=h˙=v0⋅sin⁡α,s2˙=l˙=v0⋅cos⁡α\dot{s_1}=\dot h=v_0\cdot\sin\alpha,\quad\dot{s_2}=\dot l=v_0\cdot\cos\alpha

因此:

[s1˙s2˙]=[h˙l˙]=[v0⋅sin⁡αv0⋅cos⁡α] \begin{bmatrix} \dot{s_1}\\ \dot{s_2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \dot{h}\\ \dot{l} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} v_0\cdot\sin\alpha\\v_0\cdot\cos\alpha \end{bmatrix}

(/ﾟДﾟ)/ (/ﾟДﾟ)/ 好吧我放棄了~~(滾去補數學基礎)~~

5. 總結

談一談看了這些論文的感想。
這些論文都出自不很正規的刊物，看完可以感覺到內容水的成分比較多。出現了扯不相關內容湊字數，給出公式但全程沒有用的情況。
看來這些論文都只能作為簡單參考，具體問題還要自己分析。

6. 參考

[1]尚余祥. 利用理論力學知識對紙飛機飛行距離的研究[J]. 科技風, 2019, 7: 225-227
[2]高吉, 賈文太. 紙飛機投擲的數學模型[J]. 科技風, 2019, 9: 77
[3]董曉紅, 康平. 紙飛機的飛行原理數學建模[J]. 科技風, 2019, 11: 83
[4]王微, 趙明程. 基於重心與投擲角度對紙飛機留空時間影響的分析[J]. 菏澤學院學報, 2022, 10: 10-12