OpAEOLUS-2.数学模型

分析已有研究对纸飞机的数学建模，以及吐槽

1. 简单受力分析

如图, 可得^[1][2]:
$$F_v=F\sin\theta$$
$$F_L=F_v\cos\theta=F\sin\theta\cdot\cos\theta=\frac{1}{2}F\sin2\theta$$
$$F_D=F_v\sin\theta=F\sin\theta\cdot\sin\theta=F\sin^2\theta$$
可知当$\theta=45°$时$F_L$取到最大值，有文献直接由此得出抛射角为45°最佳，实则不可，纸飞机方向时刻发生变化，而这种分析仅针对瞬时，只能作为简单参考。

2. 简单轨迹方程

对纸飞机竖直平面中位置分析, 可得^[3]:
$$
\begin{cases}
x(t)=vt\cdot\cos\theta\\
y(t)=vt\cdot\sin\theta-\frac{gt^2}{2}
\end{cases}
$$
可得纸飞机轨迹方程为:
$$y=x\cdot\tan\theta-\frac{x^2g}{2v^2\cos^2\theta}$$
求导得:
$$y’=\tan\theta-\frac{xg}{v^2\cos^2\theta}$$
当$v’=0$时, $x=\frac{v^2}{2g}\sin^2\theta$, 当$\theta=45°$时, $x_{max}=\frac{v^2}{2g}$, 由此得最佳抛射角为45°.

这样的推导逻辑上没有问题，但考虑因素太少，把纸飞机飞行理想化为简单抛体运动，结果误差极大。对于纸飞机这种质量、初速度小的飞行体，考虑空气升阻力是必要的。

3. 较复杂的数学模型

上升阶段y方向:
$$G+F_D\cdot\sin\theta-F_L\cdot\cos\theta=ma_{1y}$$
$$v_{0y}=v_0\cdot\sin\theta$$
$$v_{1y}=v_{0y}-\int_{0}^{t_1} a_{1y}\cdot tdt$$
$$h=h_0+\int_{0}^{t_1} v_{1y}\cdot tdt$$
下降阶段y方向:
$$G-F_D\cdot\sin\beta-F_L\cdot\cos\beta=ma_{2y}$$
$$v_{2y}=\int_{0}^{t_2} a_{2y}\cdot tdt$$
$$h=\int_{0}^{t_2} v_{2y}\cdot tdt$$
上升阶段x方向:
$$F_D\cdot\cos\theta+F_L\cdot\sin\theta=ma_{1x}$$
$$v_{0x}=v_0\cdot\cos\theta$$
$$v_{1x}=v_{0x}-\int_{0}^{t_1} a_{1x}\cdot tdt$$
$$s_1=\int_{0}^{t_1} v_{1x}\cdot tdt$$
下降阶段x方向:
$$F_L\cdot\sin\beta-F_D\cdot\cos\beta=ma_{2x}$$
$$v_{2x}=\int_{0}^{t_2} a_{2x}\cdot tdt$$
$$s_2=\int_{0}^{t_2} v_{2x}\cdot tdt$$
最终得到$s=s_1+s_2$. ^[1] (部分过程有修改)
同时，分析过程可得轨迹大约是:

与现实情况基本符合

此模型考虑因素较多，同时也较好理解，但未知变量多，且多次积分，难以计算。本次研究将主要参考此模型进行修改，得出更好的数学模型。

4. 更复杂的数学模型

这是关注留空时间的数学模型^[4]，然而我看不懂。
只能尽可能理解一下

对于初速度:
$$v_x=v\cdot\cos\alpha,\quad v_y=v\cdot\sin\alpha$$
设上升到最大高度过程中水平与竖直方向分速度分别为$v_{x2},v_{y2}$, 则这一过程中水平与竖直方向分速度分别为:
$$\int(v_{x2}-v_0\cos\alpha)dt,\quad\int(v_{y2}-v_0\sin\alpha)dt$$
对于升力有:
$$F_L=C_L\cdot\frac{1}{2}\rho V^2S=[C_{L0}+\frac{\partial C_L}{\partial\alpha}\alpha]\frac{1}{2}\rho V^2S$$
对于阻力有:
$$F_D=C_D\cdot\frac{1}{2}\rho V^2S=[C_{D0}+\varepsilon C_L^2]\frac{1}{2}\rho V^2S$$
(偏微分+流体力学, 已经超越我的理解极限了)
得到推进力方程:
$$
\begin{cases}
F_x=(C_T\cos\theta+C_x)\frac{1}{2}\rho(V_x^2+V_z^2)S\\
F_z=(-C_T\sin\theta+C_z)\frac{1}{2}\rho(V_x^2+V_z^2)S+mg_0
\end{cases}
$$
(/ﾟДﾟ)/ $C_T$是什么???
如果四种力相互抵消，留空时间会更长:
$$\dot{s_1}=\dot h=v_0\cdot\sin\alpha,\quad\dot{s_2}=\dot l=v_0\cdot\cos\alpha$$
因此:
$$
\begin{bmatrix} \dot{s_1}\\ \dot{s_2} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} \dot{h}\\ \dot{l} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} v_0\cdot\sin\alpha\\v_0\cdot\cos\alpha \end{bmatrix}
$$
(/ﾟДﾟ)/ (/ﾟДﾟ)/ 好吧我放弃了(滚去补数学基础)

5. 总结

谈一谈看了这些论文的感想。
这些论文都出自不很正规的刊物，看完可以感觉到内容水的成分比较多。出现了扯不相关内容凑字数，给出公式但全程没有用的情况。
看来这些论文都只能作为简单参考，具体问题还要自己分析。

6. 参考

[1]尚余祥. 利用理论力学知识对纸飞机飞行距离的研究[J]. 科技风, 2019, 7: 225-227
[2]高吉, 贾文太. 纸飞机投掷的数学模型[J]. 科技风, 2019, 9: 77
[3]董晓红, 康平. 纸飞机的飞行原理数学建模[J]. 科技风, 2019, 11: 83
[4]王微, 赵明程. 基于重心与投掷角度对纸飞机留空时间影响的分析[J]. 菏泽学院学报, 2022, 10: 10-12